Introduction
Une grande part des problèmes scientifiques se modélise par une équation différentielle dont on cherche la solution pour dimensionner ou comprendre le phénomène.
Quand les équations sont simples (linéaire d'ordre 1 ou 2) la résolution analytique est aisée, mais nombre de modélisations conduisent à des équations non linéaires. Ce TP a pour objectif de proposer une méthode (Euler Explicite) pour déterminer une solution approchée.
Principe du schéma d'Euler explicite
Soit la formulation équation différentielle d'ordre 1 suivante :
\(a(t)\dot y(t)+b(t)y(t)=f(t)\), on connaît \(y(t_0)=y_0\) et les fonctions \(a(t)\), \(b(t)\) et \(f(t)\) sont connues.
On cherche la fonction \(y(t)\) sur un intervalle donné.
On a alors moyennant qq conditions...dont on ne fera pas étalage ici : \(\dot y(t)=\frac{1}{a(t)}[f(t)-b(t)y(t)]\)
Formulation communément donnée : \(\dot y(t)=F(t,y(t))\) avec \(F\) appelé la fonctionnelle.
On a vu la formulation de la dérivation numérique : \(\dot y(t_i)=\frac{y(t_i+h)-y(t_i)}{h}\) avec \(h\) "petit".
Soit donc \(y(t_i+h)=h\dot y(t_i)-y(t_i)~~(1)\)
En revenant à notre pb on a \(y(t_0)=y_0\) avec \((1)\) on a \(y(t_1)=y(t_0+h)=h\dot y(t_0)-y(t_0)\) or \(\dot y(t_0)=\frac{1}{a(t_0)}[f(t_0)-b(t_0)y(t_0)]\) on a alors \(y(t_1)\)....
De proche en proche on a alors \(y(t)\) sur l'intervalle donné.
Soit la formulation équation différentielle d'ordre 2 suivante :
\(a(t)\ddot y(t)+b(t)\dot y(t)+c(t)y(t)=f(t)~~(2)\), on connaît \(y(t_0)=y_0\), \(\dot y(t_0)=\dot y_0\) et les fonctions \(a(t)\), \(b(t)\), \(c(t)\) et \(f(t)\) sont connues.
On cherche la fonction \(y(t)\) sur un intervalle donné.
On pose alors \(V(t)=\dot y(t)\), \((2)\) devient alors \(a(t)\dot V(t)+b(t)V(t)=f(t)-c(t)y(t)\), on est donc revenu au problème précédent, donc même solution on trouve alors \(V(t)\) et on en déduit \(y(t)\) par intégration.
On a alors transformé notre équation de départ en système différentiel tel que :
\(\left\{\begin{array}{ll}V(t)=\dot y(t) \\a(t)\dot V(t)+b(t)V(t)=f(t)-c(t)y(t) \end{array}\right.\)
Ci-dessous une animation flash de l'algo d'Euler explicite, si notre navigateur ne le prend pas en charge dessous vous pouvez la télécharger puis télécharger l’exécutable permettant de lire l'animation.