RDM dimensionnement

Pièce 1 :

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_O\left\{\begin{array}{ccll}X_{01} & 0\\Y_{01} & 0\\Z_{01} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{ccll}X_{21} & 0\\Y_{21} & 0\\Z_{21} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ccll}0 & 0\\ -F & 0\\0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_O\left\{\begin{array}{ccll}X_{01} & 0\\Y_{01} & 0\\Z_{01} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_O\left\{\begin{array}{ccll}X_{21} & 0\\Y_{21} & -lZ_{21}\\Z_{21} & lY_{21}\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_O\left\{\begin{array}{ccll}0 & 0\\ -F & 0\\0 & -FL\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\(\left\{\begin{array}{rcl}X_{01}+X_{21}=0\\Y_{01}+Y_{21}-F=0\\Z_{01}+Z_{21}=0\\0=0\\-lZ_{21}=0\\lY_{21}-LF=0\end{array}\right.\)

Pièce 2 :

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_C\left\{\begin{array}{ccll}X_{02} & 0\\Y_{02} & 0\\Z_{02} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{ccll}-X_{21} & 0\\-Y_{21} & 0\\-Z_{21} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_C\left\{\begin{array}{ccll}X_{02} & 0\\Y_{02} & 0\\Z_{02} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_C\left\{\begin{array}{ccll}-X_{21} & hZ_{21}\\-Y_{21} & lZ_{21}\\-Z_{21} & -lY_{21}-hX_{21}\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\(\left\{\begin{array}{rcl}X_{02}-X_{21}=0\\Y_{02}-Y_{21}=0\\Z_{02}-Z_{21}=0\\hZ_{21}=0\\lZ_{21}=0\\-lY_{21}-hX_{21}=0\end{array}\right.\)

Rappel des actions mécaniques extérieures :

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{ccll}144444 & 0\\-28889 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_C\left\{\begin{array}{ccll}-144444 & 0\\28889 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(x\in]0, L'[\) : On utilise le torseur de l'extérieur sur \(E_2\), \(\{T_{c}\}= \{T_{ext\rightarrow E_2}\}_G\)

Attention, l'action mécanique trouvée précédemment ,n'est pas exprimé dans la base liée à la poutre 2.

On ramène l’expression de la force en A dans la direction de l'axe de la poutre 2 (Solide soumis à 2 glisseurs, donc forces portées par AC, vecteur \(\overrightarrow{x_2}\)).

\(\overrightarrow{A}=\frac{L}{h}F\overrightarrow{x}-\frac{L}{l}F\overrightarrow{y}\)

D'où : \(\overrightarrow{A}=\sqrt{\left(\frac{L}{h}F\right)^2+\left(\frac{L}{l}F\right)^2}\overrightarrow{x_2}=\sqrt{1444444^2+28889^2}\overrightarrow{x_2}=147305 \overrightarrow{x_2}\)

On a donc : \(\{T_{c}\}= \{T_{ext\rightarrow E_2}\}_G={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{ccll}147305& 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right\}_{(\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{y_2},\overrightarrow{z_2})}\) (pas de moment qui vient du déplacement du torseur de A en G car la force en A est de direction \(\overrightarrow{x_2}\))

\(E=210~\mathrm{GPa}\)

\(R_e=220~\mathrm{MPa}\)

\(\sigma=\frac{F}{S}\), et \(\sigma_{\max}\leq\frac{R_e}{s}\) d'où \(S_{\min}=\frac{F s}{Re}\)

Or, \(R_{\min}=\sqrt{\frac{F s}{\pi R_e}}\), ce qui donne \(R_{\min}=\sqrt{\frac{147305 \times 3}{\pi \times 200\times 10^6}}\simeq25,29~\mathrm{mm}\)

\(\Delta L=\frac{N L'}{E S}=\frac{147305\times 45,90}{210\times 10^9\times \pi \times 0,02529^2}\simeq16,02~\mathrm{mm}\)

On considère que le déplacement du point A est vertical car \(CA=45,9~\mathrm{m}\) et \(y_{A}=16,02~\mathrm{mm}\)

\(\cos\alpha=\frac{\Delta L}{y_{A}}\)

\(\cos\theta=\frac{h}{L'}\)

De même, on néglige la variation de l'angle \(\alpha:\cos\alpha=\cos\theta\)

\(y_{A}=\frac{\Delta L}{\cos\alpha}=\frac{L'\Delta L}{h}\)

\(y_{A}=\displaystyle \frac{45.9*0.0153}{9}=81,70~\mathrm{mm}\)

D'après Thalès:

\(\frac{y_{B}}{y_{A}}=\frac{L}{l}\)

\(y_{B}=\frac{L}{l}y_{A}\)

\(y_{B}=\displaystyle \frac{65}{45}y_{A}=118.01~\mathrm{mm}\)

On va augmenter le rayon du câble :

\(y_{B}=\frac{L}{l}y_{A}=\frac{L}{l}\frac{L'\Delta L}{h}=\frac{LL'\frac{NL'}{ES}}{lh}=\frac{NLL^{\prime 2}}{lhE\pi R^{2}}\)

\(R=\sqrt{\frac{NLL'^2}{lhE\pi y_B}}\)

Soit \(R=\sqrt{\frac{147305\times65\times45,9^2}{45\times9\times210\times10^9\times\pi\times0,01}}\simeq 86,9~\mathrm{mm}\)

\(\sigma=\frac{F}{S}\), et \(\sigma_{\max}\leq\frac{R_e}{s'}\)

d'où \(s'=\frac{R_e S}{F}\) et \(s'=\frac{220\times10^6\times \pi \times 0,10339^2}{147305}\simeq35,3\)