RDM dimensionnement

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{ll}0 & C\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{ll}X_{A} & 0\\Y_{A} & 0\\Z_{A} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ll}X_{B} & 0\\Y_{B} & 0\\Z_{B} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_D\left\{\begin{array}{ll}F_{x} & 0\\F_{y} & 0\\F_{Z} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ll}0 & C\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ll}X_{A} & 0\\Y_{A} & aZ_{A}\\Z_{A} & -aY_{A}\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ll}X_{B} & 0\\Y_{B} & 0\\Z_{B} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}+{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_B\left\{\begin{array}{ll}F_{x} & -RF_{Z}\\F_{y} & -bF_{Z}\\F_{Z} & bF_{y}+RF_{x}\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\{0\}\)

\(\left[\begin{array}{l}-a\\0\\0\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\wedge\left[\begin{array}{l}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}=\left[\begin{array}{l}0\\aZ_{A}\\-aY_{A}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\)

\(\left[\begin{array}{l}b\\-R\\0\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\wedge\left[\begin{array}{l}F_{x}\\F_{y}\\F_{Z}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}=\left[\begin{array}{l}-RF_{Z}\\-bF_{Z}\\bF_{y}+RF_{x}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\)

\(\left\{\begin{array}{l}X_{A}+X_{B}+F_{x}=0\\Y_{A}+Y_{B}+F_{y}=0\\Z_{A}+Z_{B}+F_{z}=0\\C-RF_{z}=0\\aZ_{A}-bF_{z}=0\\-aY_{A}+bF_{y}+RF_{x}=0\end{array}\right.\)

Tronçon AB : \(x\in]0, a[\)

\(\{T_{c}\}_G=-\{T_{ext\rightarrow E_1}\}_G\)     \(-\{T_{ext\rightarrow E_1}\}_A=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{rclrcl}0 & C\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{rclrcl}X_{A} & 0\\Y_{A} & 0\\Z_{A} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)       

\(-\{T_{ext\rightarrow E_1}\}_A=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_A\left\{\begin{array}{rclrcl}X_{A} & C\\Y_{A} & 0\\Z_{A} & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(\left[\begin{array}{cl}-x\\0\\0\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\wedge\left[\begin{array}{rcl}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}=\left[\begin{array}{cl}0\\xZ_{A}\\-xY_{A}\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\)

\(-\{T_{ext\rightarrow E_1}\}_G=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}X_{A} & C\\Y_{A} & xZ_A\\Z_{A} & -xY_A\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(\{T_{c}\}_G={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}-X_{A} & -C\\-Y_{A} & -xZ_A\\-Z_{A} & xY_A\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(\{T_{c}\}_G={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}-X_{A} & 1160\\-3673 & 16296x\\16296 & 3673x\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

Tronçon BE : \(x\in]a, l[\)

\(\{T_{c}\}_G=\{T_{ext\rightarrow E_2}\}_G\)     \(\{T_{ext\rightarrow E_2}\}_D=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_D\left\{\begin{array}{rclrcl}F_x & 0\\F_y & 0\\F_z & 0\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)       

\(\left[\begin{array}{cl}l-x\\-R\\0\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\wedge\left[\begin{array}{cl}F_x\\F_y\\F_z\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}=\left[\begin{array}{cl}-RF\\(x-l)F_z\\(l-x)F_y+RF_x\end{array}\right]_{(\mathcal{B})}\)

\(\{T_{ext\rightarrow E_2}\}_G=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}F_x & -RF_z\\F_y & xF_z-lF_z\\F_z& -xF_y+RF_x+lF_y\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(\{T_{ext\rightarrow E_2}\}_G=-{\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}F_x & -RF_z\\F_y & (x-l)F_z\\ F_z&(l-x)F_y+RF_x\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(\{T_{c}\}_G={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_G\left\{\begin{array}{rclrcl}-24160 & 1160\\25366 & -40559x+6027\\-40559 & 3078-25366x\end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

Tronçon AB : \(x\in]0, a[\)

\(EIv_{1}''(x)=(A_{1}x+B_{1})\)

Conditions aux limites de la poutre :

\(v_{1}(0)=v_{1}(a)=0\)

\(I\) étant constant :

\(EIv_{1}'(x)=A_{1}\frac{x^{2}}{2}+B_{1}x+K_{1}^{1}\)

\(EIv_{1}(x)=A_{1}\displaystyle \frac{x^{3}}{6}+B_{1}\frac{x^{2}}{2}+K_{1}^{1}x+K_{1}^{2}\)

Liaison rotule en A (\(x=0\)) : \(v_{1}(0)=0\Rightarrow K_{1}^{2}=0\)

\(EIv_{1}(x)=A_{1}\frac{x^{3}}{6}+B_{1}\frac{x^{2}}{2}+K_{1}^{1}x\)

Liaison rotule en B (\(x=l)\) : \(v_{1}(a)=0\displaystyle \Rightarrow A_{1}\frac{a^{3}}{6}+B_{1}\frac{a^{2}}{2}+K_{1}^{1}a=0\)

\(K_{1}^{1}a=-A_{1}\frac{a^{3}}{6}-B_{1}\frac{a^{2}}{2}\)

\(K_{1}^{1}=-\left(A_{1}\frac{a^{2}}{6}+B_{1}\frac{a}{2}\right)\)

\(K_{1}^{1}=-\frac{a}{6}(aA_{1}+3B_{1})\)

\(EIv_{1}(x)=A_{1}\frac{x^{3}}{6}+B_{1}\frac{x^{2}}{2}+K_{1}^{1}x\)

On aura besoin par la suite de :

\(EIv_{1}'(x)=\frac{A_{1}}{2}x^{2}+B_{1}x+K_{1}^{1}\)

Tronçon BE : \(x\in]a, l[\)

\(EIv_{2}''(x)=(A_{2}x+B_{2})\)

Continuité de la poutre en B :

continuité de la déformée : \(v_{2}(a)=v_{1}(a)=0\); continuité de la rotation : \(v_{2}'(a)=v_{1}'(a)\)

\(I\) étant constant:

\(EIv_{2}'(x)=A_{2}\frac{x^{2}}{2}+B_{2}x+K_{2}^{1}\)

\(EIv_{2}(x)=A_{2}\displaystyle \frac{x^{3}}{6}+B_{2}\frac{x^{2}}{2}+K_{2}^{1}x+K_{2}^{2}\)

Continuité de la rotation en B : \(v_{2}'(a)=v_{1}'(a)\)

\(\displaystyle \Rightarrow A_{2}\frac{a^{2}}{2}+B_{2}a+K_{2}^{1}=\frac{A_{1}}{2}a^{2}+B_{1}a+K_{1}^{1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow K_{2}^{1}=\frac{A_{1}}{2}a^{2}+B_{1}a+K_{1}^{1}-A_{2}\frac{a^{2}}{2}-B_{2}a\)

\(\displaystyle \Rightarrow K_{2}^{1}=\frac{a^{2}}{2}(A_{1}-A_{2})+a(B_{1}-B_{2})+K_{1}^{1}\)

Déformée nulle en B : \(v_{2}(a)=0\)

\(\Rightarrow A_{2}\frac{a^{3}}{6}+B_{2}\frac{a^{2}}{2}+K_{2}^{1}a+K_{2}^{2}=0\)

\(\Rightarrow K_{2}^{2}=-A_{2}\frac{a^{3}}{6}-B_{2}\frac{a^{2}}{2}-K_{2}^{1}a\)

\(v(x)=\left\{\begin{array}{l} v_{1}(x)\forall x\epsilon]0,\ a[\\ v_{2}(x)\forall x\epsilon]l,\ 2a[ \end{array}\right.\)

Au bilan :

\(v_{1}=\frac{1}{EI}\left[A_{1}\frac{x^{3}}{6}+B_{1}\frac{x^{2}}{2}+K_{1}^{1}x\right]\)

\(v_{2}=\frac{1}{EI}\left[\frac{A_{2}}{6}x^{3}+\frac{B_{2}}{2}x^{2}+K_{2}^{1_{\chi}}+K_{2}^{2}\right]\)

\(K_{1}^{1}=-\frac{a}{6}(aA_{1}+3B_{1})\)

\(K_{2}^{1}=\frac{a^{2}}{2}(A_{1}-A_{2})+a(B_{1}-B_{2})+K_{1}^{1}\)

\(K_{2}^{2}=-A_{2}\frac{a^{3}}{6}-B_{2}\frac{a^{2}}{2}-K_{2}^{1}a\)

Avec les valeurs trouvées précédemment, on trouve : \(K_{2}^{1}=-170\) et \(K_{2}^{2}=5,7\).

Ce qui donne un flèche (valeur maximale de la déformée, donc en \(x=l\)) de \(v_{2}(l)=\frac{1}{EI_{G}}[\frac{A_{2}}{6}l^{3}+\frac{B_{2}}{2}l^{2}+K_{2}^{1}l+K_{2}^{2}]\).

Soit une valeur de \(v(l)\simeq3,33~\mathrm{\mu m}\)

La rotation de la section en \(E\) correspond à la dérivée de la déformée en \(x=l\) :

\(\theta_{z}(l)=v_{2}'(l)=\frac{1}{EI_{G_{Z}}}[\frac{A_{2}}{2}l^{2}+B_{2}l+K_{2}^{1}]=0,00004~\mathrm{rad}\)

On sait que \(\sigma=E\varepsilon\) (loi de Hooke), avec \(\sigma=\frac{N}{S}\) et \(\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}\)

d'où : \(\Delta L=u(l)=\frac{F_{x}b}{ES}=\frac{-24160\times0,04259}{210000000000\times0,003318307}=-1,48~\mathrm{\mu m}\)

Le mouvement de torsion de l'arbre ne va que décaler l'arbre de sortie par rapport à sa position théorique dans le cas où il n'y aurait pas de torsion, mais en aucun cas il ne va altérer le contact entre les roues dentées.

C'est un mouvement sur la mobilité du système...

Calcul du déplacement en D du à la rotation : \(\left[\begin{array}{c}0\\R\\0\end{array}\right]_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\wedge\left[\begin{array}{c}0\\0\\\theta_{z}\end{array}\right]_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}=\left[\begin{array}{c}R\theta_{z}\\0\\0\end{array}\right]_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\({\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_E\left\{\begin{array}{cc}0 & u(l)\\ 0 & {v}(l) \\\theta_{z} & 0 \end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_D\left\{\begin{array}{cc}0 & x(l)+R\theta_{z}\\\ 0 & {v}(l) \\\theta_{Z} & 0 \end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}={\begin{matrix}\\ \\ \\ \end{matrix}}_D\left\{\begin{array}{cc}0 & -0_{\prime}34\times10^{-6}\\ 0 & 3,33\times10^{-6}\\0,00004 & 0 \end{array}\right\}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\)

\(D=\sqrt{(u(l)+R\theta_{z})^{2}+v(l)^{2}}\simeq3,35\mathrm{\mu m}\)

\(D\simeq3,35\mathrm{\mu m}\), cette valeur respecte le cahier des charges, car elle ne dépasse pas les 5 microns.

Il faudrait toutefois vérifier que la déformation dans le plan \((A,\vec{x},\vec{z})\) n'engendre pas un déplacement supplémentaire qui ferait que le cahier des charges n'est plus respecté. (voir dernière question d’entraînement pour cette vérification, on trouvera que le cahier des charges n'est plus respecté, le déplacement étant trop important)

Il est donc nécessaire de limiter les déformations en flexion de l'arbre afin de diminuer ce déplacement, pour cela un 3ème roulement est ajouté et rend le système hyperstatique.