Clavette

Le couple à transmettre \(C\) est de \(1000~\mathrm{Nm}\) et le diamètre de l'arbre d'entrée \(D\) est de \(50~\mathrm{mm}\).

Lorsqu'il sera nécessaire, le coefficient de sécurité \(s\) sera fixé à 3.

\(R_E\) est la résistance élastique du matériau de la goupille et de la clavette : \(R_E = 600~\mathrm{MPa}\).

L'arbre est un acier de résistance élastique \(R_E'=220~\mathrm{MPa}\).

Pour les différents matériaux étudiés, on a la relation suivante : \(R_G=\frac{R_E}{2}\)

Dans les différentes solutions étudiées, le dimensionnement dépendra de deux phénomènes :

- La contrainte de cisaillement

- La pression au contact sur la surface de la clavette appelée pression de matage

Pour le matage, on donne :

Cas de fonctionnement

Pression de matage admissible

Glissant sous charge

2 à 20 MPa

Normal

20 à 50 MPa

Serré

50 à 150 MPa

On utilise une clavette dans le but de transmettre un couple entre deux arbres guidés en rotation.

Soit la figure suivante :

Données : \(h=b=10~\mathrm{mm}\)

Question

Q1. Déterminer la relation entre le couple \(C\) transmis et l'effort tranchant \(F\) dans la clavette.

Solution

En tenant compte de la géométrie précise :

\(F\left(\frac{D}{2}+\frac{h}{4}\right)=F\frac{2D+h}{4}=C\)

\(F=\frac{4C}{2D+h}\)

Mais en dimensionnement de clavettes :

\(F\frac{D}{2}=C\)

\(F=\frac{2C}{D}\)

Question

Q2. Donner l'expression de la contrainte moyenne en cisaillement \(\tau\) dans la clavette.

Solution

\(\tau=\frac{F}{S}=\frac{2C}{Dlb}\)

Question

Q3. Donner l'expression du couple maximal transmissible entre les deux arbres.

Solution

\(\tau<Rp_{G}=\frac{R_{G}}{s}\)

\(\frac{2C}{Dlb}<\frac{R_{G}}{s}\)

\(C<\frac{DlbR_{G}}{2s}\)

On prend:

\(R_{G}=\frac{R_{E}}{2}\)

\(R_{E}=220\times10^{6}~\mathrm{Pa}\)

\(C<\frac{DlbR_{E}}{4s}\)

Question

Q4. Quelle longueur de clavette faut -il choisir dans le cas étudié.

Solution

\(l>\frac{4sC}{DbR_{E}}\)

\(l>\frac{4\times3\times1000}{0.05\times0.01\times600.10^{6}}=40~\mathrm{mm}\)

Question

Q5. Donner l'expression de la pression de matage \(p\) sur la clavette.

Solution

On suppose une répartition uniforme de la pression au contact.

\(p=\frac{F}{l\frac{h}{2}}=\frac{2F}{lh}\)

Question

Q6. Donner l'expression du couple maximal transmissible entre les deux arbres.

Solution

\(p<p_{adm}\)

\(\frac{4C}{lhD}<p_{adm}\)

\(\mathrm{C}<\frac{lhDp_{adm}}{4}\)

Question

Q7. En déduire la longueur minimale de la clavette en considérant un clavetage serré.

Solution

\(l>\frac{4C}{p_{adm}hD}\)

Pour faire diminuer la pression au contact, il faut augmenter la longueur de la clavette. Pression élevée correspond à longueur petite, et puisque la surface peut diminuer. Pression faible correspond à longueur grande. Donc, si on tolère la pression la plus faible, on doit avoir la clavette la plus grande.

De toute manière, on voit bien la dépendance sur la formule.

Calculons les longueurs minimales de clavettes dans les deux cas extrêmes :

\(p_{adm}=50~\mathrm{MPa}\ \Rightarrow\ l>\frac{4\times1000}{50\times10^{6}\times0,01\times0,05}=160~\mathrm{mm}\)

\(p_{adm}=150~\mathrm{MPa}\ \Rightarrow\ l>\frac{4\times1000}{150\times10^{6}\times0,01\times0,05}=53,3~\mathrm{mm}\)

Pour résister quelle que soit la pression dans l'intervalle, on voit que la pression de 50 𝑀𝑃𝑎 est

limitante, il faut donc que : \(l>160~\mathrm{mm}\)

Question

Q8. Conclure sur le critère dimensionnant pour les clavettes.

Solution

Une longueur de 40 mm suffit pour résister à la contrainte en cisaillement avec un coefficient de sécurité de 3. Pourtant, pour être dans des conditions de fonctionnement correctes en termes de pression de matage, il faut une longueur minimale de 160 mm.

La longueur d'une clavette doit donc généralement être choisie en fonction du dimensionnement à la pression de matage.