Torsion d'arbres d'un réducteur
Cette étude porte sur la déformation angulaire obtenue à la sortie d'un réducteur sous charge. L'utilisation d'un réducteur dont les pièces sont considérées indéformables permet de connaître la position angulaire exacte de la sortie en fonction de la position angulaire en entrée. De même, le rapport des vitesses de rotation est directement relié au rapport de réduction. Cependant, lors du transit d'un couple dans le réducteur, un décalage de position va apparaître ainsi que des perturbations dans la relation entre la vitesse de rotation en entrée et en sortie.
Nous allons nous intéresser au décalage angulaire entre l'entrée et la sortie du réducteur schématisé ci-dessous :
Soit \(\mu\) le rapport de réduction du réducteur : \(\mu=\frac{\omega_{2/0}}{\omega_{1/0}}\).
Les arbres 1 et 2 sont des arbres pleins de sections circulaires identiques de diamètres \(d\) constitués du même matériau (acier) de module d'élasticité transversal \(G = 80~\mathrm{GPa}\).
On négligera la présence des roues dentées dans la géométrie des arbres et on supposera que celles-ci sont indéformables.
On supposera l'absence de jeu dans la liaison engrenage. On considère le couple de sortie \(C_2\) connu. On fixe la rotation en A à 0 : \(\theta_A = 0\) On va donc chercher à estimer \(\theta_D\) du fait du chargement du réducteur. Précision : à l'état non chargé, on a :
\(\theta_A=\theta_B=\theta_C=\theta_D=0\)
Remarque : nous travaillerons en valeurs absolues pour chaque variable.
Question
Q1. Déterminer le couple \(C_1\) transitant dans l'arbre 1 en fonction de \(C_2\) et \(\mu\).
Solution
\(C_{1}=\mu C_{2}\)
Question
Q2. Déterminer la déformation angulaire de l'arbre 1 : \(\Delta\theta_1=\theta_B-\theta_A\).
Solution
\(\gamma=\frac{M_{t}}{GI_{G}}\)
\(\displaystyle\Delta\theta_{1}=\theta_{B}-\theta_{A}=\theta_{B}=\int_{0}^{L_{1}}\gamma \mathrm{d}x=L_{1}\gamma=L_{1}\frac{M_{t}}{GI_{G}}=L_{1}\frac{C_{1}}{GI_{G}}=L_{1}\frac{\mu C_{2}}{GI_{G}}\)
\(\Delta\theta_{1}=L_{1}\frac{\mu C_{2}}{GI_{G}}\)
Question
Q3. En déduire la rotation induite par cette déformation dans l'arbre 2 : \(\theta_C\).
Solution
\(\mu=\frac{\theta_{C}}{\theta_{B}}\)
\(\theta_{c}=\mu\theta_{B}=L_{1}\frac{\mu^{2}C_{2}}{GI_{G}}\)
Question
Q4. Déterminer la déformation angulaire de l'arbre 2 : \(\Delta\theta_2=\theta_D-\theta_C\).
Solution
\(\Delta\theta_{2}=\theta_{D}-\theta_{C}=L_{2}\frac{C_{2}}{GI_{G}}\)
Question
Q5. En déduire le décalage entre l'angle de l'arbre de sortie au repos à son extrémité D et cet angle sous charge : \(\theta_D\).
Solution
\(\theta_{D}=L_{2}\frac{C_{2}}{GI_{G}}+\theta_{C}=L_{2}\frac{C_{2}}{GI_{G}}+L_{1}\frac{\mu^{2}C_{2}}{GI_{G}}\)
\(\theta_{D}=\frac{C_{2}}{GI_{G}}(\mu^{2}L_{1}+L_{2})\)
\(\theta_{D}=\frac{C_{2}}{G\frac{\pi d^{4}}{32}}(\mu^{2}L_{1}+L_{2})\)
\(\theta_{D}=\frac{32C_{2}}{G\pi d^{4}}(\mu^{2}L_{1}+L_{2})\)
Question
Q6. Application numérique : \(C_2=100~\mathrm{Nm}\) \(\mu=-0,5\) \(d=10~\mathrm{mm}\) \(L_1=200~\mathrm{mm}\) \(L_2=300~\mathrm{mm}\)
Solution
\(C_{2}=100~\mathrm{Nm}-\mu=-0,5-d=50~\mathrm{mm}-L_{1}=200~\mathrm{mm}-L_{2}=300~\mathrm{mm}\)
\(\theta_{D}=\frac{32\times100}{80\times10^{9}\times\pi\times0,01^{4}}((-0,5)^{2}0,2+0,3)=0,4456~\mathrm{rad}=25,53°\)
On souhaite limiter la rotation issue de la déformation des arbres à \(\Delta\theta_{\max}=0,1°\)
On souhaite limiter la rotation issue de la déformation des arbres à \(\Delta\theta_{\max}=0,1°\).
Question
Q7. Quel diamètre \(d\) doit-on choisir ?
Solution
\(\Delta\theta_{\max}=\frac{32C_{2}}{G\pi d^{4}}[\mu^{2}L_{1}+L_{2}]\)
\(d=\left[\frac{(\mu^{2}L_{1}+L_{2})32C_{2}}{G\pi\Delta\theta_{\max}}\right]^{\frac{1}{4}}\)
\(d=\left[\frac{(0,5^{2}\times0,2+0,3)\times32\times100}{80\times10^{9}\times\pi\times\frac{0.1\times\pi}{180}}\right]^{\frac{1}{4}}\)
\(d=39,98~\mathrm{mm}\)
Question
Q8. Calculer la contrainte maximale dans la matière.
Solution
\(\tau_{1}=\frac{d}{2}\frac{M_{t_{1}}}{I_{G}}=\frac{d}{2}\frac{C_{1}}{\frac{\pi d^{4}}{32}}=16\frac{\mu C_{2}}{\pi d^{3}}\)
\(\tau_{2}=16d\frac{C_{2}}{\pi d^{4}}\)
\(\tau_{1}=16\times\frac{0,5\times100}{\pi\times0,03998^{3}}=3,98~\mathrm{MPa}\)
\(\tau_{2}=16\times\frac{100}{\pi\times0,03998^{3}}=7,96~\mathrm{MPa}\)
\(\tau_{\max}=7,96~\mathrm{MPa}\)
On donne : \(R_G=100~\mathrm{MPa}\)
Question
Q9. Quel coefficient de sécurité est respecté ?
Solution
\(s=\frac{R_{G}}{\tau_{\max}}=\frac{100}{28,12}=12,5\)