Gamme Dynamique

Traduisons le non-glissement en A :

\(\overrightarrow {{V_{A,2/0}}} = \overrightarrow 0 = \overrightarrow {{V_{G,2/0}}} + \overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} \wedge \overrightarrow {GA} \) or on peut calculer \(\overrightarrow {{V_{G,2/0}}}\) en passant par O, en effet G reste sur \(O,\overrightarrow {{x_1}}\) on écrira alors : \(\overrightarrow {{V_{G,2/0}}}= \overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} \wedge \overrightarrow {OG}\) et donc \( \overrightarrow {{V_{A,2/0}}} = \overrightarrow 0 =\overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} \wedge \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} \wedge \overrightarrow {GA}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{V_{A,2/0}}} = \dot \theta \overrightarrow {{z_0}} \wedge (R - r)\overrightarrow {{x_1}} + (\dot \theta + \dot \varphi )\overrightarrow {{z_0}} \wedge r\overrightarrow {{x_1}} \\\overrightarrow {{V_{A,2/0}}} = \left[ {\dot \theta (R - r) + (\dot \theta + \dot \varphi )r} \right]\overrightarrow {{y_1}} = \left[ {R\dot \theta  +r \dot \varphi} \right]\overrightarrow {{y_1}}\end{array}\)

D'où : \(r\,\dot \varphi = - R\,\dot \theta\)

Matrice d'un solide de révolution autour de \(\left( {G,{{\vec z}_0}} \right)\) donc diagonale avec A, B et C et A=B.

BAME :

\(S_0 \to S\) :

Cylindre plan avec frottement et hypothèse problème plan

\(\left\{ {{T}_{S_0\to S}} \right\}={{\left\{ \begin{matrix} -Y_{S}\overrightarrow{{{y}_{1}}}-X_{S}\overrightarrow{{{x}_{1}}}\\ {\vec{0}} \\ \end{matrix} \right\}}_{A}}\).

Pesanteur sur S :

\(\left\{ {{T}_{pes\to S}} \right\}={{\left\{ \begin{matrix} mg\overrightarrow{{{x}_{0}}}\\ {\vec{0}} \\ \end{matrix} \right\}}_{\forall P \in (G,\overrightarrow{{{x}_{0}}})}}\).

Moment en A sur \(\overrightarrow{{{z}_{0}}}\):

\(\overrightarrow{{{M}_{A,ext \to S}}}=\overrightarrow{{{M}_{A,pes \to S}}}+\overrightarrow{{{M}_{A,S_0 \to S}}}\)

Or \(\overrightarrow{{M}_{A,pes \to S}}=\overrightarrow {AG} \wedge mg\overrightarrow{{{x}_{0}}}=mgr.sin \theta \overrightarrow{z_0}\)

et \(\overrightarrow{{{M}_{A,S_0 \to S}}}=\vec 0\)

Soit \(\overrightarrow{{{M}_{A,ext \to S}}}.\overrightarrow{{{z}_{01}}}=mgr.sin \theta \)

Moment dynamique en A sur \(\overrightarrow{{{z}_{0}}}\):

Ici le centre de gravité de S est C :

\(\overrightarrow{\delta_{A,S/0}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=\frac{d}{dt}_{0}(\overrightarrow{\sigma_{A,S/0}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}) +m \overrightarrow {{V_{A/0}}} \wedge \overrightarrow {{V_{G,S/0}}} .\overrightarrow{{{z}_{0}}}=\frac{d}{dt}_{0}(\overrightarrow{\sigma_{A,S/0}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}) \)

Avec \(\overrightarrow{\sigma_{A,S/0}}.\overrightarrow{z_{0}}=\overrightarrow{\sigma_{G,2/0}}.\overrightarrow{z_{0}}+\overrightarrow{AG} \wedge m\overrightarrow {{V_{G,2/0}}}.\overrightarrow{z_{0}}\) or \(\overrightarrow {V_{G,2/0}}= (R-r) \dot \theta\overrightarrow{y_{1}}\)

\(\overrightarrow{\sigma_{A,S/0}}.\overrightarrow{z_{0}}=C(\dot \theta + \dot \varphi )-r\overrightarrow{x_1} \wedge m (R-r) \dot \theta \overrightarrow{y_{1}}.\overrightarrow{z_{0}}=C(\dot \theta + \dot \varphi )-mr(R-r)\dot \theta\)

Donc \(\overrightarrow{\delta_{A,2/0}}.\overrightarrow{z_{0}}=C(\ddot \theta + \ddot \varphi )-mr(R-r)\ddot \theta\)

Soit \(\overrightarrow{\delta_{A,2/0}}.\overrightarrow{z_{0}}=C(\ddot \theta - \frac{R}{r}\ddot \theta )-mr(R-r)\ddot \theta=\ddot \theta[\frac{C }{r}(r-R)-mr(R-r)]= -\ddot \theta(R-r)[\frac{C}{r}+{mr}\)

\(- \ddot \theta(R-r)[\frac{C}{r}+mr]=mgr.sin \theta\)

Soit donc \( \left( {R - r} \right)\,\left( {\frac{C}{{{r^2}}} + m} \right)\,\ddot \theta +m\,g\,\sin \theta = 0\)

On a \( \left( {R - r} \right)\,\left( {\frac{C}{{{r^2}}} + m} \right)\,\ddot \theta +m\,g\, \theta = 0\) soit donc \( \frac{(R - r)}{r^2} (C+mr^2)\ddot \theta +m\,g\, \theta = 0\)

\( \frac{(R - r)(C+mr^2)}{r^2} \ddot \theta +m\,g\, \theta = 0\)

On a alors \(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\) avec \(\omega_0=\sqrt{ \frac{(R - r)(C+mr^2)}{mgr^2} }\)

Actions mécaniques en résultante :

\(\left\{ {{T}_{S_0\to S}} \right\}={{\left\{ \begin{matrix} -Y_{S}\overrightarrow{{{y}_{1}}}-X_{S}\overrightarrow{{{x}_{1}}}\\ {\vec{0}} \\ \end{matrix} \right\}}_{A}}\).

\(\left\{ {{T}_{pes\to S}} \right\}={{\left\{ \begin{matrix} mg\overrightarrow{{{x}_{0}}}\\ {\vec{0}} \\ \end{matrix} \right\}}_{\forall P \in (G,\overrightarrow{{{x}_{0}}})}}\).

- sur \(\overrightarrow{{{x}_{1}}}\) :\(-X_S+mg cos\theta\)

- sur \(\overrightarrow{{{y}_{1}}} \): \(-Y_S-mg sin\theta\)

Résultante dynamique :

\(m\overrightarrow {{a_{G,2/0}}}.=m(R-r) (\ddot \theta \overrightarrow{y_{1}}-\dot \theta^2\overrightarrow{x_{1}})\)

Bilan :

\(Y_S=m(R-r) \ddot \theta+mg sin\theta\)

\(X_S=mg cos\theta-m(R-r) \dot \theta^2\)

Soit \(f > \left| {\frac{{{Y_S}}}{{{X_S}}}} \right| = \left| {\frac{{mg\sin \theta + m(R - r)\ddot \theta }}{{mg\cos \theta - m(R - r){{\dot \theta }^2}}}} \right|\)