Gamme Dynamique

Théorème de la résultante statique :

sur \(\vec x\) :  \(- {T_{01}} - mg.sin\alpha = 0\) sur \(\vec z\) :\( {N_{01}} - mg\cos \alpha = 0\)

Théorème du moment statique en O projection sur \(\vec y:\;\;R.{T_{01}} - {C_r} = 0\)

A la limite du roulement on a \( {C_r} = r.{N_{01}}\) soit \(R.{T_{01}} - r.{N_{01}} = 0\) donc \(R.m.g.\sin {\alpha _{{\rm{lim}}}} - r.m.g.\cos {\alpha _{{\rm{lim}}}} = 0 \Rightarrow tan{\alpha _{{\rm{lim}}}} = \frac{r}{R}\)

On incline le plan jusqu'à obtenir roulement de la roue, on obtient expérimentalement\( {\alpha _{{\rm{lim}}}}\).

Pour \(tan{\alpha _{{\rm{lim}}}} = 0,008\) et R = 0,25m on a \(r = R.{\rm{\;tan\;}}{\alpha _{{\rm{lim}}}} = 0,25 \times 0,008 = 0,002m.\)

Loi de Coulomb en phase d'adhérence on a \({T_{01}} \le f.{N_{01}}\). Il faut donc déterminer le rapport \(\frac{{{T_{01}}}}{{{N_{01}}}}\) : On a \({T_{01}} = m.g.\sin \alpha = 0\) et \({N_{01}} = m.g.\cos \alpha\)

\(\frac{{{T_{01}}}}{{{N_{01}}}} = \frac{{m. \cdot g. \cdot {\rm{\;sin\;}}\alpha }}{{mg{\rm{\;cos\;}}\alpha }} = {\rm{\;tan\;}}\alpha\) . Pour \(\alpha = {\alpha _{{\rm{lim}}}}\) on a donc \(\frac{{{T_{01}}}}{{{N_{01}}}} = 0,008 < 0,5\) a il y a donc roulement mais non glissement de la roue.

\(\overrightarrow {{V_{{A_{23'}}23/0}}} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{V_{{A_{23'}}23/1}}} + \overrightarrow {{V_{{A_{23'}}1/0}}} = \vec 0 \Rightarrow - R{\theta _{23}} + x = 0\)

\(\overrightarrow {{V_{{A_{4'}}4/0}}} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{V_{{A_{4'}}4/1}}} + \overrightarrow {{V_{{A_{4'}}1/0}}} = \vec 0 \Rightarrow - R{\theta _4} + x = 0\)

Théorème de Ia résultante dynamique : \(\overrightarrow {{R_{\bar E \to E}}} = \overrightarrow {{R_{d\;E/R}}}\)

Avec \(\overrightarrow {{R_{d\;E/R}}} = \overrightarrow {{R_{d\;E/0}}} = \overrightarrow {{R_{d1/0}}} + \overrightarrow {{R_{d23/0}}} + \overrightarrow {{R_{d4/0}}}\) \(\;{O_{23}}\) est cdg de 23 et \( {O_4}\) est cdg de 4

On a alors :

\(\overrightarrow {{R_{d\;1/R}}}=M.\overrightarrow {{a_{{G_{1,}}1/0}}} =M.\ddot x .\vec x\)

\(\overrightarrow {{R_{d\;23/R}}}=M.\overrightarrow {{a_{{O_{23,}}23/0}}} =2.m.\ddot x .\vec x\)

\(\overrightarrow {{R_{d\;4/R}}}=M.\overrightarrow {{a_{{O_{4,}}4/0}}} =m.\ddot x .\vec x\)

Donc on a :

\(\overrightarrow {{R_{d\;E/R}}}=(3m+M).\ddot x .\vec x\)

En projection :

sur \(\vec x\) :  \(- {T_{023}} - {T_{04}} + \left( {M + 3.m} \right).g.\sin \alpha - \frac{1}{2}\rho .S{C_x}.{\dot x^2}=(3m+M).\ddot x \)

sur \(\vec z\) : \({N_{023}} + {N_{04}} - \left( {M + 3.m} \right).g.\cos \alpha = 0\)

On isole l'ensemble roue 23, on effectue le BAME et on applique le PFD sur 23 en \(O_{23}\)centre de gravité de 23 ∶

Théorème du moment dynamique en\( {O_{23}}\) en projection sur\( \vec y\;:\overrightarrow {{\delta _{{0_{23'}}23/0}}} .\vec y = \overrightarrow {{M_{{O_{23}}\left( {\overline {23} \to 23} \right)}}} .\vec y\)

Avec \(\overrightarrow {{\delta _{{0_{23'}}23/0}}} .\vec y = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {{\sigma _{{0_{23'}}23/0}}} .\vec y} \right)_{}} \) et \( \overrightarrow {{\sigma _{{0_{23'}}23/0}}} = {I_{{O_{23}}}}\left( {23} \right).\overrightarrow {{\Omega _{23/0}}}\) soit \(\Rightarrow \;\overrightarrow {{\delta _{{0_{23'}}23/0}}} .\vec y = 2.I.{\ddot \theta _{23}}\).

On isole la roue 4, on effectue le BAME et on applique le PFD sur 4 en \(O_4\) centre de gravité de 4 :

Théorème du moment dynamique en \({O_4}\) en projection sur\( \overrightarrow {y\;} : \overrightarrow {{\delta _{{0_{4'}}4/0}}} .\vec y = \overrightarrow {{M_{{O_4}\left( {\bar 4 \to 4} \right)}}} .\vec y\) avec\( \overrightarrow {{\delta _{{0_{4'}}4/0}}} .\vec y = \frac{d}{{dt}}\left( {\overrightarrow {{\sigma _{{0_{4'}}4/0}}} .\vec y} \right)\; \Rightarrow \overrightarrow {{\delta _{{0_{4'}}4/0}}} .\vec y = I.\ddot \theta_4 \;\)

Rappel des équations :

\(- {T_{023}} - {T_{04}} + \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;sin\;}}\alpha - \frac{1}{2}\rho .S.{C_x}.{\dot x^2} = \left( {M + 3.m} \right).\ddot x\)

\({N_{023}} + {N_{04}} - \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;cos\;}}\alpha = 0\)

\(2.I.{\ddot \theta _{23}} = - {N_{023}}.r + {T_{023}}.R$ $I.{\ddot \theta _4} = - {N_{04}}.r + {T_{04}}.R + {C_m}\)

\(- R.{\dot \theta _{23}} + \dot x = 0\) et \( - R.{\dot \theta _4} + \dot x = 0\)

Calculons :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_m} = {N_{04}}.r - {T_{04}}.R + I.{{\ddot \theta }_4}}\\{{N_{04}} = \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;cos\;}}\alpha - {N_{023}}}\end{array}} \right\}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_m} = { \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;cos\;}}\alpha - {N_{023}}}.r - {T_{04}}.R + I.{{\ddot \theta }_4}}\\{{N_{04}} =  2.I.{{\ddot \theta }_{23}} - {T_{023}}.R = -{N_{023}}.r }\end{array}} \right\}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_m} = \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;cos\;}}\alpha .r + 2.I.{{\ddot \theta }_{23}} - {T_{023}}.R - {T_{04}}.R + I.{{\ddot \theta }_4}}\\{ - {T_{023}} - {T_{04}} = \left( {M + 3.m} \right).\ddot x - \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;sin\;}}\alpha + \frac{1}{2}\rho .S.{C_x}.{{\dot x}^2}}\end{array}} \right\}\)

\({C_m} = {M + 3.m} .g.{\rm{\;cos\;}}\alpha .r + 2.I.{\ddot \theta _{23}} + I.{\ddot \theta _4} + R.[ { {M + 3.m} .\ddot x -{M + 3.m} .g.{\rm{\;sin\;}}\alpha + \frac{1}{2}\rho .S.{C_x}.{{\dot x}^2}}]\)

or on a \( {\dot \theta _{23}} = \frac{{\dot x}}{R} \Rightarrow {\ddot \theta _{23}} = \frac{{\ddot x}}{R}\) et \({\dot \theta _4} = \frac{{\dot x}}{R} \Rightarrow {\ddot \theta _4} = \frac{{\ddot x}}{R}\)

\(\Rightarrow {C_m} = \left( {M + 3.m} \right).g.\cos \alpha .r + 2.I.\frac{{\ddot x}}{R} + I.\frac{{\ddot x}}{R} + R.\left( {M + 3.m} \right).\ddot x - R.\left( {M + 3.m} \right).g.\sin \alpha + \frac{1}{2}R.\rho .S.{C_x}.{\dot x^2}\)

\(\Rightarrow {C_m} = \left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;cos\;}}\alpha .r + \left[ {\frac{{3.I}}{R} + R.\left( {M + 3.m} \right)} \right].\ddot x - R.\left( {M + 3.m} \right).g.{\rm{\;sin\;}}\alpha + \frac{1}{2}R.\rho .S.{C_x}.{\dot x^2}\)

D'après l'équation scalaire obtenue question précédente le couple moteur peut se décomposer comme étant \(C_m\)= couple pour vaincre la résistance au roulement +couple pour vaincre les effets inertiels du véhicule+couple lié au binôme poids/pente +couple pour vaincre l'action du vent sur le véhicule.

A vitesse constante sur une piste horizontale on obtient: \({C_m} = \left( {M + 3.m} \right).g.r + \frac{1}{2}R.\rho .S.{C_x}.{\dot x^2}\)

Pour t = 500s on est à vitesse constante \(\dot x = 16m/s \Rightarrow \frac{1}{2}\rho .S.{C_x} = \frac{{{C_m} - \left( {M + 3.m} \right).g.r}}{{R.{{\dot x}^2}}}\)

A vitesse constante de 5km/h = 1,39m/s et en négligeant la résistance au roulement, on obtient

l'expression de l'angle \(\alpha \) :\( {\rm{\;sin\;}}\alpha = \frac{{{C_m} - \frac{1}{2}R.\rho .S.{C_x}.{{\dot x}^2}}}{{ - R.\left( {M + 3.m} \right).g}}\)

A.N. : \(\alpha = {\rm{\;arcsin\;}}\frac{{3,245 - \frac{1}{2}0,25 \times 0,028 \times {{1,39}^2}}}{{ - 0,25.\left( {70 + 3 \times 1} \right).10}} = - {1^o}\).

Ce qui correspond, compte tenu du paramétrage, à une pente à gravir de 1.