Correction à avance de phase

Correction à retard de phase

Considérons un système de fonction de transfert \(G\left( p \right)\) placé dans une boucle à retour unitaire avec : \(G\left( p \right) = \frac{{100}}{{{{\left( {p + 1} \right)}^2}}}\)

Les performances attendues sont les suivantes :

- Marge de phase \(M\varphi=45°\)

Question

Etablir le schéma bloc du système

Solution

Question

Déterminer la marge de phase de ce système (Graphiquement et analytiquement). Conclure quant à la capacité du système à respecter la marge de phase proposée

Solution

Rappel : on étudie la FTBO pour étudier les marges de stabilité. Tracé avec K=1

Graphiquement :

On a \({\omega _{{c_0}}} = 10\;rad/s\) la marge de phase est de l'ordre de 10°

Analytiquement :

A la pulsation de coupure, le gain doit être nul :

\({G_{dB}}\left( {{\omega _{{c_0}}}} \right) = 0\) soit \(\left| {H\left( {j{\omega _{{c_0}}}} \right)} \right| = 1\)

\(\left| {H\left( {j{\omega _{{c_0}}}} \right)} \right| = \frac{{100}}{{\left| {{{\left( {j{\omega _{{c_0}}} + 1} \right)}^2}} \right|}} = \frac{{100}}{{{{\left| {j{\omega _{{c_0}}} + 1} \right|}^2}}} = \frac{{100}}{{1 + {\omega _{{c_0}}}^2}}\)

\(\frac{{100}}{{1 + {\omega _{{c_0}}}^2}} = 1\)

\({\omega _{{c_0}}} = \sqrt {99} = 9,95\;rad.{s^{ - 1}}\)

\(M\varphi = \pi + \arg \left[ {\frac{K}{{{{\left( {1 + j{\omega _{{c_0}}}} \right)}^2}}}} \right] = \pi - \arg \left[ {{{\left( {1 + j{\omega _{{c_0}}}} \right)}^2}} \right] = \pi - 2\arg \left( {1 + j{\omega _{{c_0}}}} \right) = \pi - 2{\tan ^{ - 1}}{\omega _{{c_0}}}\)

\(M\varphi = \pi - 2{\tan ^{ - 1}}9,95 = 0,2\;rad = 11^\circ\)

Il est donc nécessaire de corriger le système afin d'augmenter la marge de phase.

Il faut augmenter la marge de phase de \(45 - 11 = 34^\circ\) à la pulsation \({\omega _{{c_0}}} = 9,95\)

On ajoute au système un correcteur à avance de phase \(C\left( p \right) = \frac{{1 + aTp}}{{1 + Tp}}\;\) avec \(a > 1\) placé en cascade. Nous allons régler ce correcteur dans le but de répondre au critère de stabilité demandé.

Question

Rappeler le diagramme de Bode du correcteur. Donner l'expression de la pulsation \({\omega _{max}}\) à laquelle la phase est maximale ?

Solution

\({\omega _{max}} = \frac{1}{{T\sqrt a }}\) avec \({\rm{log}}({\omega _{max}}) = \frac{1}{2}\left( {log\left( {\frac{1}{T}} \right) + log\left( {\frac{1}{{aT}}} \right)} \right)=\frac{1}{2}log{\left( {\frac{1}{{a{T^2}}}} \right)^{}} = log{\left( {\frac{1}{{\sqrt {a{T^2}} }}} \right)^{}}\)

Question

Etablir le schéma bloc du système corrigé et sa nouvelle FTBO notée \(H\left( p \right)\)

Solution

On rappelle l'expression de la phase maximale \({\varphi _{max}} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)\) en \({\omega _{max}}\).

Question

Régler le correcteur dans le but de répondre au cahier des charges

Solution

On place la phase maximale en \( {\omega _{{c_0}}}\;:\)

\(\frac{1}{{T\sqrt a }} = {\omega _{{c_0}}}\) soit \(T = \frac{1}{{{\omega _{{c_0}}}\sqrt a }}\)

On choisit a afin d'obtenir une augmentation de phase \( \theta\) de 34°, soit 0,59 rd : \({\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right) = \theta\)

\(\frac{{a - 1}}{{a + 1}} = \sin \theta\) soit \(a - 1 = a\sin \theta + \sin \theta\) donc \(a - a\sin \theta = 1 + \sin \theta\)

\(a = \frac{{1 + \sin \theta }}{{1 - \sin \theta }} = \frac{{1 + \sin 0,59}}{{1 - \sin 0,59}} = 3,54\)

Donc : \(T = \frac{1}{{{\omega _{{c_0}}}\sqrt a }} = \frac{1}{{9,95\sqrt {3,54} }} = 0,053\)

Question

La marge de phase obtenue est-elle exactement de 45° ? Justifier. Donner finalement la fonction de transfert du correcteur à avance de phase permettant au système de répondre aux critères de performances attendus

Solution

Le gain étant modifié par ce correcteur, ${\omega _{{c_0}}}$ est légèrement augmentée et la phase n'est donc pas corrigée d'autant qu'il le faudrait.

$C\left( p \right) = \frac{{1 + 0,19p}}{{1 + 0,053p}}$