{"id":28801,"date":"2016-02-08T07:26:00","date_gmt":"2016-02-08T07:26:00","guid":{"rendered":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/2016\/02\/08\/lenigma-dei-sette-ponti-di-konigsberg-alle-origini-della-moderna-topologia\/"},"modified":"2016-02-08T07:26:00","modified_gmt":"2016-02-08T07:26:00","slug":"lenigma-dei-sette-ponti-di-konigsberg-alle-origini-della-moderna-topologia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/2016\/02\/08\/lenigma-dei-sette-ponti-di-konigsberg-alle-origini-della-moderna-topologia\/","title":{"rendered":"L\u2019enigma dei sette ponti di K\u00f6nigsberg alle origini della moderna topologia"},"content":{"rendered":"

La citt\u00e0 che oggi si chiama Kaliningrad, che fa parte della exclave<\/em> russa sul Mar Baltico, fra Polonia e Lituania, e che \u00e8 abitata interamente da Russi, venne fondata, intorno alla met\u00e0 del 1200, dai Cavalieri dell’Ordine Teutonico, che poi ne fecero la loro sede ufficiale, col nome di K\u00f6nigsberg (letteralmente: "la collina del Re", nome che contraddistingue anche altre citt\u00e0 tedesche), e che sarebbe diventata il capoluogo della Prussia Orientale.<\/p>\n

Fra i suoi cittadini illustri, si ricordano il pi\u00f9 grande filosofo dell’Illuminismo, Inmmanuel Kant (1724-1804); E. T. A. Hoffmann (1776-1822), uno dei massimi scrittori romantici; i matematici Christian Goldbach (1690-1764), Ludwig Otto Hesse (1811-1874), Alfred Clebsch (1833-1872) e David Hilbert (1862-1943); il fisico Gustav Robert Kirchoff (1824-1887); l’architetto Bruno Taut (1880-1938) e la scrittrice Gertrud Papendick (1890-1982), della quale torneremo a parlare non appena ci sar\u00e0 possibile, che ha avuto il merito di tenere acceso il ricordo del passato tedesco e della cultura tedesca della citt\u00e0, dopo che Stalin ne aveva voluto la totale russificazione, espellendo tutti i suoi abitanti originari e importandovi migliaia di immigrati da ogni parte dell’Unione Sovietica, e dopo che molti, in Germania, avevano rimosso o dimenticato quelle vicende, col risultato che moltissimi giovani le ignoravano (e le ignorano) completamente.<\/p>\n

Era, pertanto, una citt\u00e0 carica di storia e di cultura – oltre che un grosso centro commerciale, specializzato nella fabbricazione dell’ambra, una sostanza fossile ricavata dalla resina del pino -, con il castello del’Ordine Teutonico (spianato nel 1968 per fare posto alla "Casa dei Soviet"), la grandiosa Cattedrale gotica, eretta fra il 1327 e il 1380, le poderose porte medievali (delle quali ne restano sette) e l’antica Universit\u00e0, fondata nel 1544 e detta Albertina perch\u00e9 voluta da Alberto di Prussia, ultimo Gran Maestro dell’Ordine e primo duca di Prussia, dopo che i beni dell’Ordine stesso, con la Riforma luterana — alla quale egli ader\u00ec prontamente — vennero secolarizzati. La sua crescita demografica ricevette un notevole impulso ai primi del Settecento, quando il primo re di Prussia, Federico Guglielmo, incoraggi\u00f2 l’immigrazione di molti protestanti austriaci dalla citt\u00e0 di Salisburgo, costretti a lasciare la loro citt\u00e0 natale a causa delle persecuzioni degli Asburgo cattolici. Politicamente, rivest\u00ec un ruolo importante durante le guerre napoleoniche, perch\u00e9 fu il centro della riscossa prussiana contro Napoleone, dopo che Berlino era stata occupata dai Francesi il 27 ottobre 1806, in seguito alla loro schiacciante vittoria nella battaglia di Jena, che aveva infranto il mito della invincibilit\u00e0 prussiana.<\/p>\n

Geograficamente, K\u00f6nigsberg – che, nonostante la posizione settentrionale, gode di un cima nel complesso mite – sorgeva sulle rive del fiume Pregel, in prossimit\u00e0 di due isole, su una delle quali, chiamata Kneiphof, venne costruita la Cattedrale. Dunque, l’intero centro urbano si poteva suddividere in quattro settori: quello a nord del Pregel, quello a sud, e le due isole fluviali nel mezzo. I quattro quartieri erano collegato fra di loro da sette ponti, che costituivano una passeggiata ideale, specialmente alla domenica, dopo le funzioni religiose, con lo sfondo dei vecchi palazzi, delle torri e delle guglie delle chiese luterane. Non si sa se anche Kant, culture della salutare passeggiata quotidiana con una precisione tale, da essere chiamato "l’orologio di K\u00f6nigsberg", se lo fosse domandato: ma \u00e8 certo che molti abitanti si chiedevano, a mo’ d’indovinello matematico, se esistesse la possibilit\u00e0 di fare il giro della citt\u00e0, passando per ciascuno dei suoi sette ponti, ma una volta sola, e poi ritornare al punto di partenza.<\/p>\n

L’indovinello era cos\u00ec stuzzicante, che in molti si erano provati a risolverlo, ma nessuno ci era riuscito, finch\u00e9 la cosa non giunse agli orecchi del pi\u00f9 grande matematico dell’epoca illuminista, Leonhard Euler (nato a Basilea nel 1707 e morto a San Pietroburgo nel 1783), noto in Italia semplicemente come Eulero. Proprio per la sua brillante soluzione del quesito dei ponti di K\u00f6nigsberg, Eulero viene considerato – fra le molte altre cose – il padre di quel particolare ramo della matematica che \u00e8 la topologia, ossia la scienza che studia le propriet\u00e0 delle figure e delle forme che non subiscono mutamenti, pur in presenza di una deformazione spaziale, purch\u00e9 questa avvenga in maniera "morbida", vale a dire senza strappi. Abbiamo gi\u00e0 avuto occasione di occuparci di un interessante problema topologico, il cosiddetto teorema dei quattro colori (cfr. il nostro precedente articolo: \u00abIl teorema dei quattro colori pone un arduo quesito sul rapporto fra matematica e tecnologia\u00bb, pubblicato sul sito di Arianna Editrice il 15\/12\/2013, ripubblicato su \u00abIl Corriere delle Regioni\u00bb il 16\/12\/2013); ora vogliamo soffermarci su un altro problema classico della topologia, quello — appunto – dei ponti di K\u00f6nigsberg.<\/p>\n

La soluzione data da Eulero al quesito dei ponti, o meglio, la sua dimostrazione che non esiste soluzione, cio\u00e8 che non \u00e8 possibile percorrere tutti e sette i ponti della citt\u00e0 passando per ciascuno di essi una sola volta, scaturisce direttamente dalla sua teoria dei"grafi", a causa del grado dispari dei "nodi" esistenti. Innanzitutto, si chiamino "nodi" i quattro quartieri cittadini, "spigoli" i sette ponti, e "gradi dei nodi" il numero degli spigoli che uniscono i nodi stessi. I gradi, nella situazione data, sono 3, 3, 5 e 3: vale a dire che dai nodi A, B e D partono (e arrivano) tre spigoli, mentre dal nodo C si dipartono ben cinque spigoli. Eulero esamin\u00f2 una serie di situazioni alternative, con un diverso numero di nodi e di spigoli, e giunse alla conclusione che un determinato grafo \u00e8 percorribile se ha tutti in nodi di grado pari, o se solo due sono di gradi dispari (e, in quest’ultimo caso, si deve partire da uno di essi e terminare sull’altro). Ora, tutti e quattro i nodi di K\u00f6nigsberg sono di gradi dispari (tre e cinque), dunque la soluzione dell’indovinello relativo ai ponti non esiste.<\/p>\n

La questione \u00e8 stata bene esposta da Vinicio Villani, gi\u00e0 docente di Geometria e Didattica della Matematica nelle Universit\u00e0 di Geova e Pisa, alla voce \u00abTopologia\u00bb della \u00abEnciclopedia Europea\u00bb (Milano, Garzanti, 1981, vol. XI, pp. 337, 339-340):<\/p>\n

\u00abTopologia, termine introdotto nel 1836 dal matematico tedesco J. B. Listing per designare quel ramo della matematica che in precedenza veniva chiamati "analysis situs"; le due denominazioni hanno continuato a essere usate come sinonimi sino ai primi anni del Novecento, quando infine "analysis situs" \u00e8 caduto in disuso. L’inizio della topologia si fa risalire comunemente a Eulero, che nel 1786 risolse con metodi topologici il celebre "problema dei ponti di K\u00f6nigsberg". […]<\/em><\/p>\n

Ci proponiamo di illustrare un po’ pi\u00f9 in dettaglio problematiche e metodi della topologia combinatoria e algebrica, sulla base di alcuni classici problemi, a cominciare dal pi\u00f9 antico di essi, quello dei ponti di K\u00f6nigsberg, che ai tempi di Eulero rappresentava una specie di rompicapo per gli abitanti della citt\u00e0. Il fiume Pregel divide K\u00f6nisgberg (oggi Kaliningrad) in quattro parti, che ai tempi di Eulero erano collegate tra loro da sette ponti: il problema, che nessuno riusciva a risolvere, consisteva nel trovare un cammino che attraversasse ogni pinte esattamente una volta; non veniva precisato se il punti di partenza e quello di arrivo del cammino dovessero trovarsi in una medesima parte della citt\u00e0 oppure no.<\/em><\/p>\n

Sarebbe stato possibile convincersi che il problema non ammetteva soluzioni, facendo un elenco completo di tutti i cammini che non comportavano attraversamenti ripetuti di alcun ponte e constatando quindi esplicitamente che nessuno di questi cammini soddisfaceva alla condizione del problema. Il procedimento sarebbe stato per\u00f2 assai laborioso, dati il gran numero di cammini da esaminare; inoltre un procedimento dimostrativo di questo tipo non avrebbe fornito alcuna indicazione significativo sui motivi di fondo per cui questo problema era insolubile, mentre analoghi problemi — relativi a configurazioni diverse dei ponti — potevano essere risolti.<\/em><\/p>\n

Il merito principale di Eulero sta nell’aver riconosciuto il carattere topologico del problema., osservando che erano inessenziali tutte le questioni di distanza e di forma delle zone in cui la citt\u00e0 restava divisa dal fiume, e nell’aver quindi schematizzato la situazione con quello che noi oggi chiamiamo un "grafo": i nodi del grafo simboleggiano le quattro zone della citt\u00e0; gli spigoli simboleggiano i sette ponti che le collegano. Ora, \u00e8 facile osservare che ogniqualvolta un cammino passa attraverso un nodo, vengono utilizzati esattamente due spigoli che confluiscono ne modo, uno per l’arrivo, uno per la partenza); quando invece un cammino inizia o termina in un nodo, viene utilizzato un unico spigolo (rispettivamente di partenza o di arrivo). Tenendo conto di questo fatto, e chiamando "valenza" di un nodo il numero degli spigoli che vi confluisco none segue che un cammino passante una e una sola volta per tutti gli spigoli pu\u00f2 esistere solo in due casi: o tutti i nodi hanno valenza pari (e allora il cammino pu\u00f2 iniziare e finire in uno qualunque dei nodi del grafo), o tutti i nodi, a eccezione di due, hanno valenza pari, mentre i rimanenti due nodi hanno valenza dispari (e allora il cammino deve iniziare in uno dei nodi di valenza dispari e terminare nell’altro). Poich\u00e9 nel grafo dei ponti di K\u00f6nigsberg vi sono pi\u00f9 di due nodi di valenza dispari, resta dunque dimostrato che il problema \u00e8 privo di soluzioni.\u00bb<\/em><\/p>\n

L’eleganza della dimostrazione di Eulero \u00e8 contenuta, "in nuce", nella sua maniera caratteristica di porre il problema: eliminando tutti i fattori non essenziali (come la grandezza dei nodi o la posizione reciproca degli spigoli) e ponendolo sul piano del ragionamento matematico "puro", dove essenziali sono solo i rapporti reciproci delle figure e delle forme nelle loro propriet\u00e0 immutabili. Inoltre, in essa vi \u00e8 sia una componente pragmatica, laddove Eulero ha passato in rassegna una serie di possibilit\u00e0 alternative, sia teorica, laddove ha formulato una legge matematica universalmente valida, dalla quale discende la risposta non solo al quesito dei ponti di K\u00f6nigsberg, ma a qualsiasi altro quesito matematico avente caratteristiche analoghe.<\/p>\n

Senza voler riprendere qui le riflessioni gi\u00e0 svolte a proposito del teorema dei quattro colori, non si pu\u00f2 non notare come l’informatica abbia, ai nostri giorni, notevolmente cambiato la prospettiva della scienza topologica. Con un modesto calcolatore elettronico, problemi come quello dei ponti di K\u00f6nigsberg, che hanno intrigato e imbarazzato intere generazioni, si possono risolvere in un batter d’occhi: senza, per\u00f2, quella intima soddisfazione intellettuale, e – diciamolo pure – senza quella forma di appagamento, anche estetico, che derivano solo da una dimostrazione logica ben condotta. In fondo, la topologia \u00e8 un ramo della geometria, pi\u00f9 che della matematica, che attira soprattutto le intelligenze portate, s\u00ec, all’astrazione logica, ma anche alla sua "visualizzazione" nello spazio, e sia pure in uno spazio ideale, sgombrato di tutto ci\u00f2 che \u00e8 matematicamente inessenziale.<\/p>\n

C’\u00e8 poi un altro aspetto della cosa, cui ci piace accennare, anche se siamo consapevoli di spingerci molto al di l\u00e0 della normale argomentazione matematica: quello afferente la sfera del mistero. Fino a quando Eulero non chiar\u00ec l’enigma dei sette ponti di K\u00f6nigsberg, esso aveva qualche cosa di misterioso e di affascinante, proprio perch\u00e9 suggeriva l’ambigua contiguit\u00e0 fra lo spazio concreto e quotidiano – quello di una serena passeggiata domenicale da un quartiere all’altro, su e gi\u00f9 per i ponti cittadini — e quello ideale della matematica, fatto di ragionamento puro. Vogliamo dire che, fino a quando Eulero non forn\u00ec la soluzione topologica, i cittadini di K\u00f6nisberg potevano sentirsi, un poco, gli spettatori, e forse i protagonisti, di una specie di gioco matematico la cui soluzione pareva sempre a portata di mano, ma continuava a sfuggire, ci\u00f2 che ha qualche relazione con il senso del mistero, come ce l’hanno i miraggi nel deserto, o i racconti di remote terre leggendarie. Sciogliendo l’enigma, in un certo senso, Eulero ha fatto quel che ha fatto il navigatore James Cook, e proprio negli stessi anni, con le sue ardite navigazioni fino ai limiti del Circolo Polare Antartico, sfatando definitivamente il mito della favolosa Terra Australis Incognita (cfr. il nostro articolo: \u00abAlexander Dalrymple fu l’ultimo geografo ad abbandonare il mito della Terra Australe\u00bb, pubblicato sul \u00abCorriere delle Regioni\u00bb il 10\/06\/2015). E, se le conoscenze umane si riarricchiscono in seguito a simili acquisizioni, \u00e8 per\u00f2 innegabile che vada perduto, di contro, qualche cosa, sul piano dell’immaginazione e della fantasia. Quel che ci domandiamo, sommessamente e con tutta la necessaria umilt\u00e0, \u00e8 se il gioco, posto in questi termini, valga sempre e comunque<\/em> la candela. Non intendiamo fare l’elogio della "santa ignoranza": il Cielo ce ne guardi. Ci stiamo invece chiedendo se il Logos strumentale e calcolante, che tende ad affermare se stesso mediante l’esclusione di ogni altra forma di conoscenza, meriti di venire adorato come quel Dio tirannico che pretende di essere…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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