Fin verso il 1830 tutti i matematici pensavano che la geometria euclidea esprimesse non gi\u00e0 un particolare modello di geometria, e sia pure il pi\u00f9 classico ed armonioso, ma la geometria in quanto tale: l’unica forma possibile di geometria. Inoltre, grazie ai suoi caratteri di perfezione e di eleganza, ne deducevano che l’universo \u00e8 scritto in caratteri matematici: tesi ripresa e ribadita da Galilei e dalla cosiddetta Rivoluzione scientifica del XVII secolo.<\/p>\n
Ma poi, nel giro di pochi anni, un vero e proprio terremoto si abbatt\u00e9 sulle secolari, millenarie certezze dei matematici: la scoperta delle geometrie non euclidee. Un ungherese, Bolyai, un russo, Loba\u010devskij, e un tedesco, Riemann, scoprirono e misero a punto altre forme di geometria, basate non sullo spazio euclideo e sulla superficie piana, ma su delle superfici curve, ad esempio iperboliche; delle superfici ove la somma degli angoli di un triangolo non \u00e8 pi\u00f9, infallibilmente, di centottanta gradi, ovvero pari ad un angolo piatto, ma di una misura maggiore o minore, a seconda dei casi.<\/p>\n
Fino a quel momento, si era pensato che lo spazio fisico e lo spazio matematico fossero una sola ed unica cosa; ora si scopriva che non \u00e8 cos\u00ec; che una cosa \u00e8 lo spazio fisico, e un’altra cosa \u00e8 lo spazio matematico. Lo spazio fisico \u00e8 oggettivo, quello matematico dipende dal modello di geometria che si adotta per misurarlo. Ma non esiste un modello pi\u00f9 giusto o pi\u00f9 vero di un altro: tutto dipende dal punto di vista che si adotta. Si tratta di un semplice criterio di opportunit\u00e0, quindi; non di verit\u00e0 assoluta.<\/p>\n
Lo shock fu enorme.<\/p>\n
La geometria di Euclide, la pi\u00f9 perfetta costruzione del pensiero matematico, si rivelava nient’altro che un modello di geometria fra i tanti possibili; e nulla autorizzava a dedurne una realt\u00e0 oggettiva, l\u00e0 fuori, nello spazio reale dell’universo fisico. Dunque, la geometria non \u00e8 una scienza caratterizzata da criteri di verit\u00e0 evidenti ed assoluti, ma semplicemente da un certo grado di coerenza fra i suoi postulati ed i teoremi e i corollari che si possono dedurre da quelli. Non vi sono verit\u00e0 in geometria, ma solo ipotesi di lavoro pi\u00f9 o meno coerenti.<\/p>\n
Come ha osservato Nicola Abbagnano (in: \u00abStoria della filosofia\u00bb, Torino, Utet, 1958, vol. II, p. 565):<\/p>\n
\u00abSi dovette cos\u00ec rinunciare al concetto della verit\u00e0 della geometria. Nessuna geometria \u00e8 vera, quindi nessuna \u00e8 pi\u00f9 vera dell’altra. Tutte hanno lo stesso tipo di validit\u00e0 logica dovuta alla intrinseca coerenza del linguaggio nel quale si esprimono. La scelta di una determinata geometria per gli usi della vita \u00e8 pura questione di comodit\u00e0. I principi da cui ogni geometria muove sono semplicemente regole sintattiche per l’uso dei vocaboli di cui essa si serve. \u00bb<\/p>\n
Che la geometria fosse un semplice sistema di logica, le cui regole sono valide solo all’interno di esso, non era finora apparso chiaro, bench\u00e9 si fosse sempre saputo che, per lavorare con i suoi teoremi, bisogna prima accettarne i postulati fondamentali, vale a dire compiere un atto di fede: non diverso, direbbe Paul Feyerabend, da quello di uno stregone hopi che compie la danza della pioggia per alleviare una lunga stagione di siccit\u00e0.<\/p>\n
Wittgenstein, da parte sua, avrebbe insistito sul carattere puramente logico e formale di essa: come quando, all’affermazione di Bertrand Russell che nell’aula di lezione non vi erano dei rinoceronti, si mise a guardare sotto i banchi, quasi a voler mostrare la gratuit\u00e0 di tale assunto (che, di fatto, non contrasta con alcun sistema di logica e il cui grado di verit\u00e0 pu\u00f2 essere solo deciso con metodi empirici).<\/p>\n
Con la scoperta del carattere formale della geometria, la strada era aperta – dal punto di vista concettuale – per la teoria della relativit\u00e0 di Einstein.<\/p>\n
Tutto era cominciato allorch\u00e9 alcuni matematici si erano presi la briga di tentar di dimostrare il quinto postulato di Euclide, vale a dire il postulato delle rette parallele, che recita: \u00abPer un punto non pu\u00f2 passare che una sola parallela a una retta data\u00bb. Ma questo risult\u00f2 essere vero solo nella geometria di Euclide; mentre il numero delle parallele che si possono condurre per un punto dato a una data retta \u00e8 infinito nella geometria di Loba\u010devskij, mentre \u00e8 uguale a zero in quella di Riemann. E fu Gauss ad intuire, verso il 1830, che si possono concepire delle geometrie diverse da quella di Euclide, che non abbiano in se stesse alcunch\u00e9 di contraddittorio.<\/p>\n
Ha scritto Morris Kline, gi\u00e0 prestigioso professore di matematica presso l’Universit\u00e0 di New York, nel suo saggio \u00abLa matematica nella cultura occidentale\u00bb (titolo originale: \u00abMathematics in Western Culture\u00bb, Oxford University Press, 1953; traduzione dall’inglese di Libero Sosio, Milano, Feltrinelli, 1976, pp.395-96):<\/p>\n
\u00abDovremmo quindi considerare ogni teoria sullo spazio fisico come una costruzione puramente soggettiva e non imputarla alla realt\u00e0 oggettiva. L’uomo costruisce una geometria, sia essa euclidea o non euclidea, e decide di considerare lo spazio nei termini di essa. I vantaggi che ne consegue, anche se non pu\u00f2 esser certo che lo spazio possegga alcun carattere della struttura che egli ha costruito nella propria mente, consistono nel fatto che egli diventa in grado di meditare sullo spazio e usare la sua teoria nel lavoro scientifico. Questa concezione dello spazio e della natura in generale non implica la negazione dell’esistenza di un mondo fisico oggettivo. Essa equivale semplicemente a riconoscere che i giudizi e le conclusioni dell’uomo sullo spazio sono puramente soggettivi.<\/p>\n
La creazione della geometria non euclidea pass\u00f2 come un turbine di devastazione nel regno della verit\u00e0. Come la religione in societ\u00e0 antiche, la matematica occupava una posizione riverita e indiscussa nel pensiero occidentale. Nel tempio della matematica riposava ogni verit\u00e0, ed Euclide ne era il sommo pontefice. Ma il culto, il suo pontefice massimo e tutti i suoi assistenti furono spogliati della sanzione divina dall’opera di tre sacrileghi: Bollai, Loba\u010devsij e Riemann. \u00c8 vero che, nell’intraprendere la loro ricerca, questi intelletti audaci avevano in mente solo il problema logico di investigare le conseguenze di un nuovo postulato delle parallele. Certo, in principio non si resero conto che stavano sfidando la Verit\u00e0 stessa. E finch\u00e9 la loro opera fu considerata semplicemente un ingegnoso gioco matematico, non si posero questioni serie. Nel momento in cui questi uomini si resero per\u00f2 conto del fatto che le geometrie non euclidee potrebbero essere descrizioni valide dello spazio fisico, si present\u00f2 loro un problema inevitabile. Come mai la matematica, che aveva sempre preteso di rivelare la verit\u00e0 a proposito della quantit\u00e0 e dello spazio, ci offre ora varie geometrie contraddittorie? Non pi\u00f9 di una di esse potrebbe essere la verit\u00e0. In realt\u00e0, fatto ancor pi\u00f9 sgradevole, la verit\u00e0 \u00e8 forse diversa da tutte queste geometrie. La creazione delle nuove geometrie costrinse perci\u00f2 a riconoscere che tutti i postulati matematici potrebbero esser soggetti a un "se". Se i postulati della geometria euclidea sono verit\u00e0 sul mondo fisico, allora lo sono anche i teoremi. Purtroppo, per\u00f2, non possiamo decidere sulla base di argomenti "a priori" che i postulati di Euclide, o di qualsiasi altra geometria, sono verit\u00e0.<\/p>\n
Privando la matematica della sua condizione di insieme di verit\u00e0, la creazione delle geometrie non euclidee priv\u00f2 l’uomo delle verit\u00e0 pi\u00f9 rispettate e forse anche della speranza di raggiungere mai la certezza su qualcosa. Prima dell’Ottocento ogni epoca aveva creduto nell’esistenza di una verit\u00e0 assoluta; gli uomini si differenziavano solo nella scelta delle fonti. Aristotele, i Padri della Chiesa, la Bibbia, la filosofia e la scienza avevano avuto tutti il loro momento come arbitri di verit\u00e0 oggettive, eterne. Nel Settecento fu sostenuta la sola ragione, in virt\u00f9 di ci\u00f2 che \u00e8 stato prodotto nella matematica e nei settori matematici della scienza. Il possesso di verit\u00e0 matematiche era stato confortante particolarmente per il fatto che esse tenevano viva la speranza di altro che doveva ancora venire. Ora purtroppo la speranza veniva distrutta. La fine del dominio della geometria euclidea fu la fine del dominio di ogni verit\u00e0 assoluta. Il filosofo pu\u00f2 ancora insistere sulla profondit\u00e0 del pensiero; l’artista pu\u00f2 sostenere la validit\u00e0 di un’intuizione manifestata dalla sua abilit\u00e0 tecnica; la persona pia pu\u00f2 riempire la pi\u00f9 grande cattedrale degli echi dell’ispirazione divina; e il poeta romantico pu\u00f2 cullare il nostro intelletto in un torpore sonnolento e indurci a un’acritica accettazione della sua allettante composizione. Forse queste sono tutte fonti di verit\u00e0 e forse ce ne sono anche altre. Ma la persona razionale che ha afferrato la lezione della geometria non euclidea \u00e8 almeno diffidente nei confronti delle insidie e, quand’anche accetti qualche verit\u00e0, lo fa provvisoriamente, attendendosi in ogni momento di poter aprire gli occhi. Paradossalmente, bench\u00e9 le nuove geometrie impugnassero la capacit\u00e0 dell’uomo di conseguire verit\u00e0, esse forniscono l’esempio migliore del potere della mente umana, poich\u00e9, per produrre queste nuove geometrie, la mente dovette sfidare e superare l’abitudine, l’intuizione e le percezioni sensoriali.<\/p>\n
La perdita del suo carattere sacrale da parte della verit\u00e0 sembra eliminare un’antica questione concernente la natura della matematica stessa. La matematica esiste indipendentemente dall’uomo, come le montagne e i mari, oppure \u00e8 una creazione interamente umana? In altri termini, il matematico nel suo lavoro riporta in luce diamanti che sono rimasti celati per secoli nelle tenebre oppure sta producendo una pietra sintetica? Ancora alla fine dell’Ottocento, avendo dinanzi a s\u00e9 la storia della geometria non euclidea, l’illustre fisico Heinrich Hertz pot\u00e9 dire: "Non ci si pu\u00f2 liberare dall’impressione che queste formule matematiche abbiano un’esistenza indipendente e un’intelligenza propria, che siano pi\u00f9 sapienti di noi, pi\u00f9 sapienti anche dei loro scopritori, e che noi ricaviamo da esse pi\u00f9 di quanto fu posto in esse originariamente." Nonostante quest’opinione, la matematica appare il prodotto di menti umane, fallibili, pi\u00f9 di quanto non sia l’eterna sostanza di un mondo indipendente dall’uomo. Essa non \u00e8 una struttura d’acciaio fondata sullo strato roccioso della realt\u00e0 oggettiva bens\u00ec un filo di ragnatela che oscilla insieme ad altre speculazioni nelle regioni solo in parte esplorate della mente umana.\u00bb<\/p>\n
\u00c8 abbastanza curioso che Kline non si accorga di incorrere proprio nello stesso tipo di errore logico che evidenzia nei seguaci della geometria di Euclide: scambiare un dato parziale per la totalit\u00e0, e assolutizzarlo indebitamente. Con l’aggravante che si tratta di un doppio errore logico, non di un errore semplice.<\/p>\n
Il primo errore deriva da una indebita contaminazione tra l’idea di spazio matematico e quella di spazio fisico. Egli sostiene che ogni teoria sullo spazio fisico, e dunque ogni geometria, \u00e8 una costruzione puramente soggettiva. Poi, per\u00f2, afferma che se i postulati della geometria euclidea sono verit\u00e0 sul mondo fisico, allora lo sono anche i teoremi; ma che non possediamo alcun elemento che ci consenta di ricondurli a delle verit\u00e0 di fatto.<\/p>\n
Kline, per\u00f2, non avrebbe alcun diritto di ipotizzare che la geometria di Euclide abbia un riscontro nel mondo fisico: se lo fa, inficia tutto il suo ragionamento, la cui conclusione \u00e8 che, appunto, ogni geometria \u00e8 solo un modello teorico, utile come ipotesi di lavoro per risolvere determinati problemi, e null’altro.<\/p>\n
Poi dichiara che, fino all’Ottocento, ogni epoca aveva creduto in una verit\u00e0 assoluta: ma, di nuovo, non distingue opportunamente fra verit\u00e0 logico-matematica e verit\u00e0 ontologica. Qualunque studente al primo anno di filosofia sa distinguere tra verit\u00e0 di principio e verit\u00e0 di fatto; ma Kline non si perita di argomentare che, da quando entr\u00f2 in crisi l’idea di una validit\u00e0 assoluta della geometria, \u00e8 stata l’idea stessa di verit\u00e0 ad andare in crisi.<\/p>\n
Naturalmente, non \u00e8 affatto vero: per\u00f2 \u00e8 un dato di fatto che la sua opinione \u00e8 condivisa da numerosi intellettuali, insegnanti e saggisti, col risultato che la gran massa dell’opinione pubblica ha introiettato un simile punto di vista e pensa che, con le scoperte di Loba\u010devsij e degli altri, a crollare sia stata l’idea stessa di verit\u00e0; anzi, la verit\u00e0 in quanto tale: visto che, da Hegel in poi, il soggetto conoscente e la Verit\u00e0 conosciuta sono generalmente visti come un tutt’uno (e questo non \u00e8 l’ultimo dei danni che il gran sofista dell’Idealismo tedesco ha provocato nella storia della cultura moderna).<\/p>\n
N\u00e9 Kline si rende conto che, se il Settecento aveva divinizzato la ragione (come lui stesso dice), la scoperta della relativit\u00e0 della geometria euclidea pu\u00f2 costituire un trauma solo per quanti si attardano nella religione illuminista e continuano, pi\u00f9 o meno inconsciamente, a identificare la Ragione con la Verit\u00e0.<\/p>\n
Quanto alla convinzione che il possesso di verit\u00e0 matematiche fosse stato confortante soprattutto per il fatto che esse tenevano viva la speranza di altro che doveva ancora venire, essa non fa che confermare la tendenza \u00abteologica\u00bb della matematica cartesiana e galileiana; cos\u00ec come parlare di speranze distrutte non autorizza certo a concludere che la fine del dominio della geometria euclidea fu la fine del dominio di ogni verit\u00e0 assoluta.<\/p>\n
Questa, in filosofia, \u00e8 la classica conclusione pi\u00f9 grande delle premesse: perch\u00e9 se la geometria \u00e8 una costruzione della mente umana, si pu\u00f2 forse ammettere che la fine di un modello geometrico unitario metta in crisi la nostra idea del sapere matematico, ma non ci consente di parlare di una fine della verit\u00e0 in quanto tale. Gira e rigira, si cade sempre nell’enorme peccato di presunzione di Galilei: dare cio\u00e8 per scontato che l’universo sia scritto in caratteri matematici e che Dio stesso non sia altro che un grande matematico.<\/p>\n
Qualcuno potrebbe pensare che Kline si esprima in maniera figurata e che non si dovrebbe fargliene troppo una colpa, laddove ironizza sul filosofo che ancora insiste sulla profondit\u00e0 del pensiero, sull’artista che sostiene la validit\u00e0 delle sue intuizioni, sulla persona pia che riempie le cattedrali con gli echi delle sue preghiere o sul poeta romantico (evidentemente, per lui qualunque poeta \u00e8 sempre un romanticone) che culla il nostro intelletto in un torpore sonnolento che ci induce a un’acritica accettazione della sua allettante composizione.<\/p>\n
Ahim\u00e9, che non si tratti di un modo di parlare figurato appare evidente dalla sua affermazione che la persona razionale, la quale abbia afferrato la lezione della geometria non euclidea, diventa diffidente nei confronti delle insidie (quali? quelle dei poeti e delle persone pie assorte in preghiera?; e, quand’anche si induca ad accettare qualche verit\u00e0, lo fa provvisoriamente, attendendosi in ogni momento di poter aprire gli occhi.<\/p>\n
Eccoci arrivati al punto.<\/p>\n
Se la matematica non pu\u00f2 essere la sola, veritiera forma di conoscenza della realt\u00e0, ebbene allora non hanno il diritto di esserlo n\u00e9 l’arte, n\u00e9 la filosofia, n\u00e9 la religione, n\u00e9 la poesia; o meglio, possono esserlo, ma solo in un ambito parziale e relativo. Muoia, dunque, Sansone con tutti i Filistei! Se il professore di matematica non \u00e8 pi\u00f9 il solo legittimo sacerdote all’Assoluto, allora non devono fregiarsi del titolo nemmeno i rappresentanti delle altre forme di sapere.<\/p>\n
In che cosa consiste il vizio di questo ragionamento? Nel non riconoscere che la conoscenza del mondo fisico ha per oggetto le verit\u00e0 di fatto; mentre la conoscenza del mistico, del poeta, del filosofo e dell’artista, vanno tutte al cuore delle cose: all’essenza della realt\u00e0 – che non \u00e8 di natura fisica, qualunque cosa essa sia. La scienza si occupa, per definizione, delle verit\u00e0 di fatto; e quando la matematica pretende di farsi strumento di conoscenza di esse, esorbita dai suoi fini e dai suoi mezzi: invade un campo che non le compete. Qual meraviglia se, fallito l’obiettivo, deve poi mestamente raccogliere i cocci del proprio orgoglio, andati in frantumi?<\/p>\n
Quanto alla conclusione di Kline circa la natura puramente speculativa della matematica – che non scaturisce da alcun ragionamento e che, di nuovo, sfocia in una conclusione maggiore delle premesse -, nulla meglio di essa potrebbe illustrare l’atteggiamento arrogante, e al tempo stesso semplicistico, con cui si accosta al problema della verit\u00e0.<\/p>\n
Per Kline e per quelli che la pensano come lui, la convinzione che la matematica sia il prodotto delle menti umane, e quindi una scienza fallibile, scaturisce non solo dal misconoscimento del valore di verit\u00e0 di altre forme di conoscenza del mondo (quali l’arte, la filosofia, la religione e la poesia), ma anche da una spregiudicata identificazione della verit\u00e0 conoscitiva (gnoseologia) con la verit\u00e0 in se stessa (ontologia).<\/p>\n
In altri termini, noi non abbiamo alcun diritto di pensare che quanto \u00e8 umanamente percepibile, verificabile e dimostrabile, esaurisca il campo del reale: sarebbe molto pi\u00f9 sensato – ed anche, \u00e8 proprio il caso di dirlo, molto pi\u00f9 ragionevole – ammettere che quanto un ranocchio pu\u00f2 osservare del mondo, dal fondo del suo stagno, non \u00e8 il mondo in se stesso, ma soltanto una minuscola porzione di esso.<\/p>\n
Per dirla con Shakespeare, e rivolgendosi particolarmente agli orgogliosi signori della verit\u00e0 matematica: \u00abVi sono molte pi\u00f9 cose fra la terra ed il cielo, di quante ne possa sognare tutta la vostra filosofia\u00bb.<\/p>\n
Per dirne una: non si accorge, Morris Kline, che la sua alternativa secca: o la matematica esiste indipendentemente dall’uomo, come le montagne ed i mari, oppure \u00e8 una creazione interamente umana, parte da una accezione arbitraria del concetto di \u00abesistenza\u00bb? Da buon materialista, egli pensa che esistono in se stesse solo le cose che stanno al d fuori del pensiero, come le montagne ed i mari; mentre tutto il resto non sarebbe che creazione della mente umana.<\/p>\n
Magari le cose fossero cos\u00ec semplici; ma non \u00e8 cos\u00ec.<\/p>\n
Possibile che non abbia mai sentito parlare di come Berkeley, in piena Et\u00e0 dei Lumi, abbia dimostrato che tutto ci\u00f2 che percepiamo, lo percepiamo all’interno della nostra mente, compresi i mari e le montagne; e perci\u00f2 che, se l’indipendenza dalla mente umana fosse il solo criterio di realt\u00e0 oggettiva di una data cosa, allora non potremmo affermare che alcuna cosa esista realmente?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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