Che cos’\u00e8, esattamente, il punto, questo ente matematico che sta alla base di tutta la geometria ma il cui concetto, solitamente, adoperiamo senza troppo darci la pena di riflettervi?<\/p>\n
Sui banchi di scuola ci hanno insegnato che una linea (ad es., una retta) \u00e8 un insieme infinito di punti; e che, mediante le linee, \u00e8 possibile definire il piano come una superficie illimitata, su cui giacciono infinite linee e infiniti punti; e cos\u00ec via, una definizione dopo l’altra, fino ai solidi pi\u00f9 complessi.<\/p>\n
Il punto, dunque, \u00e8 l’elemento fondamentale della geometria, senza il quale non si darebbero n\u00e9 linee, n\u00e9 piani, n\u00e9 volumi. Eppure, questo elemento fondamentale poggia su delle definizioni tutt’altro che univoche e rigorose e che, in genere, fanno appello pi\u00f9 alla geometria intuitiva che a quella razionale.<\/p>\n
Questo, per\u00f2, \u00e8 un autentico paradosso. Infatti la geometria intuitiva si basa sulla percezione di enti e figure geometrici di cui \u00e8 possibile immaginare il corrispettivo empirico<\/em>, percepibile mediante i sensi; ma il punto non rientra in questo genere di enti. Certo, possiamo indicarlo convenzionalmente su un foglio di carta, mediante una matita dalla punta molto sottile; ma sappiamo bene che si tratta, precisamente, di un segno convenzionale, che sta per qualche cosa d’altro<\/em>. Allude, cio\u00e8, a un qualche cosa che non esiste in natura e non \u00e8 riproducibile empiricamente, neppure se disponessimo della tecnologia pi\u00f9 sofisticata. Insomma \u00e8 un ente puramente razionale: e un ente razionale non pu\u00f2 essere definito<\/em> mediante il linguaggio intuitivo.<\/p>\n Se prendiamo a caso alcuni manuali di geometria, faremo una scoperta abbastanza sconcertante: la definizione di punto \u00e8 soggetta a notevoli oscillazioni, quando non viene elusa addirittura.<\/p>\n Per Alfonso Valentini e Giovanni Bergna,<\/p>\n "il punto \u00e8 l’elemento che separa due parti contigue di una stessa linea"<\/em>;<\/p>\n e si aggiunge che "I punti non sono costituiti da materia, sono privi di estensione perci\u00f2, come le superfici e le linee, sono enti ideali che si possono solo immaginare."<\/em> (1)<\/p>\n L.Beani e C. Melli Mostardini, per dare l’idea del punto, ricorrono a una similitudine, dopo di che ne danno una diversa definizione.<\/p>\n "Per staccare da un rotolo di filo di ferro molto sottile una parte di esso, tagliamo con le forbici la parte che ci occorre ed otteniamo cos\u00ec un pezzo di filo limitato; ogni estremo del filo prende il nome di punto; cio\u00e8<\/em><\/p>\n "<\/em> il punto \u00e8 ci\u00f2 che limita una linea.<\/em><\/p>\n "Un granello di polvere o di sabbia, la punta acuta di un compasso, ci danno l’idea del punto.<\/em><\/p>\n "L’immagine di un punto si ottiene poggiando leggermente la punta di una matita o di una penna sopra un foglio di carta, oppure la punta di un gessetto sulla lavagna, ma sia le immagini cos\u00ec ottenute, sia i granelli di polvere o di sabbia, non sono che rappresentazioni materiali del punto; mentre<\/em><\/p>\n "<\/em>il punto geometrico non ha dimensioni."<\/em> (2)<\/p>\n Se, poi, passiamo dai manuali per la scuola media a un testo scolastico per il liceo scientifico, come quello – ottimo – di L. Cateni e R. Fortini, faremo una scoperta inattesa: la conclamata impossibilit\u00e0 di definire il punto.<\/p>\n "Lo studio della geometria razionale parte dai concetti primitivi di punto, retta e piano.<\/em><\/p>\n "<\/em>Il punto, la retta e il piano non si definiscono.<\/em><\/p>\n "In ogni scienza esistono dei concetti che si debbono supporre noti a priori e che, pertanto, non vengono definiti attraverso altre parole o altri concetti di quella determinata scienza. Come abbiamo gi\u00e0 accennato, la mancanza di definizione non \u00e8 dovuta al fatto che i concetti in esame sono cos\u00ec comuni e semplici da non aver bisogno di essere definiti, ma per una vera e propria impossibilit\u00e0 a definirli."<\/em> (3)<\/p>\n Decisi a non arrenderci, proviamo a consultare un altro testo per le scuole superiori, scegliendolo – questa volta – fra i pi\u00f9 recenti. Visto che il sapere scientifico \u00e8 in rapidissimo progresso, chiss\u00e0 che questa volta non siamo pi\u00f9 fortunati. Ma restiamo subito delusi: la definizione \u00e8 ancora pi\u00f9 avara e ancora pi\u00f9 frettolosa di quelle incontrate all’inizio.<\/p>\n Leggiamo infatti, sul grosso testo di matematica in due volumi di Rinaldo Cigna e Marina Devalle, semplicemente che<\/p>\n "Punto, retta e piano sono concetti primitivi.<\/em><\/p>\n "Lo spazio \u00e8 l’insieme di tutti i punti e viene indicato con una lettera greca maiuscola, per esempio \u03a3 (sigma).<\/em><\/p>\n "Il punto \u00e8 un ente geometrico , non ha dimensioni ed \u00e8 indicato generalmente con una lettera stampatella maiuscola: A<\/em><\/p>\n "La retta \u00e8 un insieme di punti che si estende all’infinito, ecc."<\/em> (4)<\/p>\n Insomma gli autori di manuali di geometria ondeggiano fra la tentazione di fornire una definizione intuitiva del concetto di punto e la consapevolezza di una sua impossibilit\u00e0, trattandosi di un concetto primitivo e non derivato. In un certo senso, \u00e8 come se si dicesse: queste sono le fondamenta della casa, e le fondamenta non hanno fondamenta; altrimenti si cadrebbe in una tipica regressio<\/em> ad infinitum.<\/em><\/p>\n Ma Euclide, il padre della geometria che noi oggi studiamo a scuola e della quale, principalmente, ci serviamo, che cosa pensava del punto? Ha tentato di darne una definizione?<\/p>\n Com’\u00e8 noto, per il matematico greco: \u03a3\u03b7\u03bc\u03b5\u0390\u03cc\u03bd \u03ad\u03c3\u03c4\u03b9\u03bd, \u03bf\u03cd \u03bc\u03ad\u03c1\u03bf\u03c2 \u03bf\u03cd\u03b8\u03ad\u03bd, ossia: il punto \u00e8 ci\u00f2 che non ha parti<\/em><\/p>\n Possiamo considerare questa affermazione<\/em> come una vera e propria definizione<\/em>?<\/p>\n Secondo l’insigne storico della matematica Carl B. Boyer, no. O meglio: Euclide ha tentato di darla, ma in effetti non l’ha data.<\/p>\n "Gli<\/em> Elementi sono suddivisi in tredici libri o capitoli, dei quali i primi sei riguardano la geometria piana elementare, i tre successivi la teoria dei numeri, il Libro X gli incommensurabili, e gli ultimi tre soprattutto la geometria solida. Non c’\u00e8 nessuna introduzione o preambolo all’opera; il Libro I inizia bruscamente con un elenco di ventitr\u00e9 definizioni. La debolezza di questa parte sta nel fatto che alcune definizioni non definiscono nulla; infatti non c’\u00e8 nessun elenco preliminare di elementi indefiniti, in termini dei quali si debbano definire gli altri elementi. Cos\u00ec dire, come fa Euclide, che \u00abun punto \u00e8 ci\u00f2 che non ha parti\u00bb, o che \u00abuna linea \u00e8 una lunghezza senza larghezza\u00bb, o che \u00abuna superficie \u00e8 ci\u00f2 che ha soltanto lunghezza e larghezza\u00bb, non significa minimamente definire tali entit\u00e0, giacch\u00e9 una definizione deve essere espressa in termini di concetti che vengono prima e che sono pi\u00f9 noti delle cose definite."<\/em> (5)<\/p>\n Possiamo domandarci, allora, quali siano state le fonti, quali gli autori ai quali Euclide si \u00e8 ispirato, allorch\u00e9 ha "definito" il punto ci\u00f2 che non ha parti<\/em>; e scopriremo rapidamente che essi sono Platone e Aristotele.<\/p>\n Senonch\u00e9, Platone e Aristotele non avevano la medesima idea di cosa sia un punto; e il tentativo di definizione formulato da Euclide tradisce il suo sforzo di arrivare a un compromesso, che tenesse conto delle idee di entrambi i filosofi.<\/p>\n Platone, in effetti, non ha mai affrontato in modo specifico la definizione di punto. Tuttavia ha dedicato un intero dialogo, il Parmenide<\/em>, al problema dell’unit\u00e0, affermando tra l’altro:<\/p>\n "[L’uno] non sar\u00e0 identico n\u00e9 ad altro, n\u00e9 a s\u00e9 steso, e d’altro canto, non sar\u00e0 neppure diverso n\u00e9 da s\u00e9 stesso, n\u00e9 da altro (…) Se fosse diverso da s\u00e9 stesso, sarebbe diverso dall’uno e non sarebbe pi\u00f9 uno. (…) Se fosse identico all’altro, sarebbe quell’altro e non sarebbe pi\u00f9 s\u00e9 stesso; sicch\u00e9 non sarebbe pi\u00f9 cos\u00ec come \u00e8, cio\u00e8 uno, ma diverso dall’uno."<\/em> (6)<\/p>\n Nel Sofista<\/em>, invece, afferma:<\/p>\n "Occorre certamente dire, secondo un giusto ragionamento, che sia del tutto indivisibile ci\u00f2 che \u00e8 veramente uno."<\/em> (7)<\/p>\n Platone adopera il vocabolo amer\u00e9s<\/em>, ossia "privo di parti" (da m\u00e9ros,<\/em> "parte"); ed Euclide adopera esattamente lo stesso termine. Anche per lui il punto \u00e8 "ci\u00f2 che non ha parti".<\/p>\n Aristotele, da parte sua, nella Metafisica<\/em>, opera una distinzione tra il concetto di punto e quello di unit\u00e0, affermando che "ci\u00f2 che \u00e8 indivisibile secondo la quantit\u00e0 e in quanto quantit\u00e0, e che \u00e8 indivisibile i tutte le dimensioni e non ha posizione si chiama unit\u00e0; invece, ci\u00f2 che \u00e8 indivisibile in tutte le dimensioni ma ha una posizione, si chiama punto"<\/em>. E ancora, subito dopo: "ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo una sola dimensione \u00e8 una linea, mentre ci\u00f2 che non \u00e8 quantitativamente divisibile secondo nessuna dimensione \u00e8 un punto o una unit\u00e0: se non ha posizione \u00e8 un’unit\u00e0, se ha posizione \u00e8 un punto".<\/em><\/p>\n Ma, per comprendere come questo concetto sia espresso all’interno di un ragionamento molto pi\u00f9 ampio, che affronta il tema dell’unit\u00e0 e della semplicit\u00e0 da una prospettiva di carattere assai generale, riteniamo opportuno riportarlo per intero.<\/p>\n "In generale, tutto ci\u00f2 che \u00e8 indivisibile, e in quanto indivisibile, vien detto unit\u00e0: per esempio, se alcune cose sono indivisibili se considerate come uomo, esse saranno l’unit\u00e0 uomo; se, invece, sono indivisibili se considerate come animale, saranno l’unit\u00e0 animale, e se sono indivisibili se considerate come grandezze, saranno l’unit\u00e0 grandezza.<\/em><\/p>\n "Le cose, per la maggior parte, sono dette unit\u00e0, perch\u00e9 producono o hanno o subiscono o sono in relazione con qualcosa che \u00e8 uno; in senso originario, invece, costituiscono una unit\u00e0 quelle cose la cui sostanza \u00e8 una, e una o per continuit\u00e0 o per specie o per nozione.<\/em><\/p>\n "In effetti, consideriamo come molte quelle cose che o non sono continue o la cui specie non \u00e8 una o la cui nozione non \u00e8 una. Inoltre, sotto un certo profilo, diciamo che una qualunque cosa \u00e8 una, se \u00e8 una quantit\u00e0 o un continuo; invece, sotto un altro profilo, non diciamo che \u00e8 una se non \u00e8 un tutto, cio\u00e8 se non \u00e8 fornita di una forma unica: per esempio, vedendo le parti di una calzatura che giacciono insieme in un qualche modo, non diciamo che costituiscono una novit\u00e0 – a meno che non si intenda per pura continuit\u00e0 -, ma diciamo che sono un’unit\u00e0 solo se sono unite in modo da costituire una calzatura e se gi\u00e0 posseggono una forma determinata e unica. Per questa ragione, fra le linee, quella circolare \u00e8 pi\u00f9 di tutte una, perch\u00e9 \u00e8 intera e perfetta.<\/em><\/p>\n "L’essenza dell’uno consiste nell’essere un principio numerico: infatti, la misura prima \u00e8 un principio. In effetti, ci\u00f2 che \u00e8 principio della nostra conoscenza per ciascun genere di cose, \u00e8 misura prima di questo genere di cose. Dunque, l’uno \u00e8 il principio del conoscibile, per ciascun genere di cose. L’uno, per\u00f2, non \u00e8 lo stesso in tutti i generi.<\/em><\/p>\n "In un caso \u00e8 il semitono ,in un altro \u00e8 la vocale o la consonante; e altro \u00e8 l’uno nell’ambito dei pesi, e altro ancora nell’ambito dei movimenti. In tutti i casi, per\u00f2, l’uno \u00e8 indivisibile o per la quantit\u00e0 oppure per la specie. Orbene, ci\u00f2 che \u00e8 indivisibile secondo la quantit\u00e0 e in quanto quantit\u00e0, e che \u00e8 indivisibile i tutte le dimensioni e non ha posizione si chiama unit\u00e0; invece, ci\u00f2 che \u00e8 indivisibile in tutte le dimensioni ma ha una posizione, si chiama punto; ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo una sola dimensione si chiama linea, mentre ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo due dimensioni si chiama superficie e, infine, ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo la quantit\u00e0 in tutte e tre le dimensioni si chiama corpo. E, procedendo in senso inverso, ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo due dimensioni \u00e8 una superficie, ci\u00f2 che \u00e8 divisibile secondo una sola dimensione \u00e8 una linea, mentre ci\u00f2 che non \u00e8 quantitativamente divisibile secondo nessuna dimensione \u00e8 un punto o una unit\u00e0: se non ha posizione \u00e8 un’unit\u00e0, se ha posizione \u00e8 un punto."<\/em> (8)<\/p>\n In conclusione, pare che Euclide abbia voluto tener conto della posizione di entrambi i filosofi; e, al tempo stesso, che abbia inteso valorizzare la geometria pitagorica, ossia la geometria intuitiva pi\u00f9 antica, sulla quale si era poi sviluppata la geometria razionale.<\/p>\n Possiamo, per finire, domandarci se la "definizione" di punto data da Euclide presupponga il concetto di punto esteso, di punto come unit\u00e0 (che risale a Platone e, prima ancora, a Pitagora) oppure quella di punto come ente razionale privo di dimensioni (data da Aristotele).<\/p>\n Le opinioni degli studiosi moderni, su questo aspetto del problema, non sono concordi, anche se sembra prevalere la seconda.<\/p>\n Una pagina esauriente, in proposito, \u00e8 stata scritta da Attilio Frajese (che peraltro abbraccia la prima), nel suo bellissimo libro Attraverso la storia della matematica<\/em>, Firenze, Le Monnier Editore, 1973, vol. 3, pp. 91-95:<\/p>\n "Tutta la materia degli<\/em> Elementi \u00e8 fondata su vari principi che Euclide raccoglie in alcuni enunciati, la maggior parte dei quali \u00e8 premessa al libro primo.<\/em><\/p>\n "Tuttavia l’elenco dei principi esposti negli<\/em> Elementi non \u00e8 completo: vi sono infatti ancora alcune presupposizioni implicite, senza dubbio presenti alla mente di Euclide, ma inespresse: presupposizioni che la critica moderna ha espressamente enunciate (per esempio i postulati dell’ordine e quelli della divisione del piano.<\/em><\/p>\n "I principi esposti da Euclide si trovano raccolti sotto tre titoli diversi:<\/em> Termini, postulati, nozioni comuni.<\/p>\n " I<\/em> Termini sono una specie di definizioni, ma non gi\u00e0 intese nel senso moderno della parola.<\/em><\/p>\n "La definizione viene dai Greci concepita come<\/em> reale, ossia come un mezzo per indicare, o per descrivere un oggetto esistente, o a cui si attribuisce l’esistenza (in un mondo di idee, o meglio di quasi-idee, platonico): non come<\/em> nominale ,ossia come costruzione del nostro pensiero, che esprime concetti pi elevati o complessi per mezzo di concetti pi\u00f9 semplici o elementari. Inutile, dunque, cercare nei<\/em> Termini un senso logico estraneo al concetto logico degli antichi. Si pu\u00f2 invece convenire col Simon, che paragona i<\/em> Termini euclidei alle indicazioni che il maestro di bottega d\u00e0 sulla nomenclatura all’apprendista, dicendogli e mostrandogli: \u00abQuesta \u00e8 la pialla, questa \u00e8 la sega\u00bb. Si tratta dunque di<\/em> definizioni descrittive:: che cio\u00e8 descrivono<\/em> oggetti esistenti.<\/p>\n "Un vero difetto potr\u00e0 trovarsi allora nel fatto che non viene sempre individuato l’ente cui il<\/em> Termine si riferisce. Cos\u00ec, per esempio, per la retta che Euclide definisce (<\/em>Term. 4 )come<\/em> quella linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti (traduzione pi\u00f9 probabile d’un testo greco oscuro e controverso). Se questa definizione si interpreta, come sembra naturale, nel senso che sulla retta non vi sono punti privilegiati, tale propriet\u00e0 non esclusiva della retta, ma \u00e8 condivisa, ad esempio, tra le linee aperte, dall’elica cilindrica, come gi\u00e0 faceva osservare Apollonio.<\/em><\/p>\n Ma alcune delle principali definizioni euclidee vengono messe sotto la loro vera luce se considerate come aventi un presupposto storico: cos\u00ec le definizioni di linea come<\/em> lunghezza senza larghezza e<\/em> di<\/em> superficie come ci\u00f2 che ha soltanto lunghezza e larghezza esprimono il concetto della<\/em> razionalit\u00e0 degli enti geometrici, oramai acquisiti dopo la<\/em> scoperta delle grandezze incommensurabili.<\/em><\/p>\n "Similmente si dica della prima definizione, come quella di<\/em> punto:<\/em> Punto \u00e8 di cui parte nessuna (<\/em>\u03a3\u03b7\u03bc\u03b5\u0390\u03cc\u03bd \u03ad\u03c3\u03c4\u03b9\u03bd, \u03bf\u03cd \u03bc\u03ad\u03c1\u03bf\u03c2 \u03bf\u03cd\u03b8\u03ad\u03bd),<\/em> ossia: \u00abNel punto non vi sono parti\u00bb,\u00abPunto \u00e8 ci\u00f2 che non ha parti\u00bb.<\/em><\/p>\n "Il punto viene cio\u00e8 considerato come l’<\/em>atomo, come l’indivisibile. Va osservato, a puro titolo d’informazione, che tutti i commentatori e tutti gli studiosi concordano su questa traduzione del primo<\/em> termine euclideo, eccezione fatta per Marziano Capella (secolo V dopo Cristo), il quale traduce:<\/em> Punctum est cuius pars nihil est (\u00abPunto \u00e8 ci\u00f2 la cui parte \u00e8 niente\u00bb, vale a dire le parti di cui il punto si compone sono<\/em> nulla). Tra i moderni, solo qualcuno (ad esempio Max Simon) condivide questa veduta, la quale rispecchia, \u00e8 vero, la concezione razionale del punto senza dimensioni, ma non sembra accettabile per considerazioni d’altro genere.<\/em><\/p>\n "Da dove ha tratto Euclide la sua definizione di<\/em> punto?<\/em><\/p>\n "A quanto ci dice Aristotele, la definizione pitagorica era questa: \u00abPunto \u00e8 l’unit\u00e0 avente posizione\u00bb.<\/em><\/p>\n "Leggiamo, ad esempio, nella<\/em> Metafisica, libro V 1.016 b: \u00abL’indivisibile nella quantit\u00e0 si chiama unit\u00e0 se \u00e8 indivisibile in ogni verso e non ha posto; ma se \u00e8 indivisibile per ogni verso e tuttavia ha un posto si chiama<\/em> punto\u00bb. E poco oltre: \u00abCi\u00f2 che quantitativamente non \u00e8 divisibile per nessun verso, si dice<\/em> punto e<\/em> unit\u00e0: questa non ha posto, quello s\u00ec\u00bb (trad. Carlini, Bari, Laterza, 1928).<\/em><\/p>\n "Del resto, la concezione primitiva della linea come somma di punti bene si ricollega a questa doppia definizione di unit\u00e0 e di punto, anzi si fonda su di essa. A base della teoria pitagorica c’\u00e8 proprio il punto-unit\u00e0, o come suol dirsi pi\u00f9 comunemente, il punto-monade (da<\/em> mon\u00e0s che significa<\/em> unit\u00e0).<\/em><\/p>\n "Alla definizione euclidea di punto si riconnette, del resto, quella di unit\u00e0 che troviamo presso Platone: oltre che nel<\/em> Parmenide (dialogo platonico dedicato proprio all’uno), anche nel<\/em> Sofista (245 a): \u00abIl veramente uno bisogna dirlo addirittura sena parti\u00bb (amer\u00e8s, da<\/em> alfa privativo, cio\u00e8 negativo, e m\u00e8ros,<\/em> parte).<\/em><\/p>\n "Euclide, dunque, definisce il punto esattamente come Platone defin\u00ec l’unit\u00e0, ricorrendo allo stesso termine m\u00e8ros.<\/em><\/p>\n "Si potrebbe criticare la confusione fatta da Euclide tra unit\u00e0 e punto: egli non aggiunse infatti che caratteristica del punto, rispetto all’unit\u00e0, \u00e8 quella di<\/em> avere posizione. Ma gi\u00e0 Proclo, nel suo<\/em> Commento al libro I dell’Euclide, espone questa critica, e la risolve facendo osservare che il punto \u00e8, nella materia<\/em> geometrica, il solo ente che sia indivisibile. La definizione \u00e8 dunque sufficiente relativamente alla materia geometrica.<\/em><\/p>\n "Ma dunque, dal momento che Euclide definisce il punto come corrispondente geometrico non gi\u00e0 del nulla, ma dell’unit\u00e0, che cosa ha inteso egli significare con tale sua prima definizione?<\/em><\/p>\n "A noi sembra che, contrariamente alla diffusissima opinione corrente, la prima definizione euclidea, non si riferisca al punto privo di dimensioni, cio\u00e8 alla concezione razionale degli enti geometrici, ma si riferisca invece alla concezione pitagorica primitiva di<\/em> punto steso, di punto-unit\u00e0.<\/em><\/p>\n "Euclide, cio\u00e8, nell’iniziare la sua opera, avrebbe voluto, quasi a guisa di lapidario ricordo, lasciare una traccia della geometria pi\u00f9 antica, la geometria pitagorica primitiva, che precedette la<\/em> geometria di precisione, all’esposizione della quale l’opera euclidea \u00e8 dedicata.<\/em><\/p>\n ""Il punto senza dimensioni viene invece definito, sia pure in modo indiretto, nel<\/em> Termine 3, del quale ci occuperemo tra poco. Sicch\u00e9 la prima definizione, del<\/em> punto come ci\u00f2 che non ha parti, per quanto celeberrima, \u00e8 del tutto inutile: potrebbe esser soppressa senza alcun danno per l’economia generale degli<\/em> Elementi, non venendo poi mai utilizzata nel seguito dell’opera.<\/em><\/p>\n "Occorre a questo punto precisare che l’opera euclidea non si presenta come un vero e proprio trattato, nel quale vengano enunciate e dimostrate proposizioni che siano fine a se stesse, ma si presenta come un gigantesco, e ferreamente legato, sistema di lemmi: ossia fornisce soltanto quelle proposizioni (teoremi e problemi) che servono per il seguito, che sono cio\u00e8 necessarie per proposizioni seguenti, che sulle precedenti si fondano.<\/em><\/p>\n "E vedremo appunto che, tutte le volte che troveremo negli<\/em> Elementi una proposizione che ci appaia<\/em> inutile per il seguito, ci domanderemo per quale particolare e straordinario motivo Euclide l’abbia inserita nella sua opera. Per la prima definizione del punto ci potremmo rivolgere proprio la stessa domanda, e potremmo rispondere che il motivo della sua inserzione all’inizio dell’opera sia di carattere storico.<\/em><\/p>\n "Osserviamo che i tal modo la celebre definizione euclidea non perde il suo fascino, ma ne acquista anzi uno nuovo, poich\u00e9, come s’\u00e8 detto, in modo lapidario sintetizza e ricorda le concezioni geometriche pitagoriche pi\u00f9 antiche.<\/em><\/p>\n "Con la seconda definizione siamo invece in piena concezione razionale degli enti geometrici: la<\/em> linea viene ivi definita come<\/em> lunghezza priva di larghezza. E la terza definizione rappresenta una specie di collegamento tra i due enti<\/em> linea e punto.<\/em> Essa dice<\/em>: \u00abEstremi di una linea sono i punti\u00bb. Si osservi che i punti non sono linee, ma<\/em> estremi di linee: non hanno quindi lunghezza, e, in relazione alla precedente definizione di linea non hanno larghezza (ed evidentemente non hanno neppure<\/em> spessore): si tratta dunque dei punti razionalmente concepiti come privi di ogni dimensione.<\/em><\/p>\n "Questa definizione terza, che costituisce in certo senso la<\/em> vera definizione del punto, ha per Aristotele il torto di spiegare che cosa sia il punto per mezzo della linea, ossia ci\u00f2 che vien prima per mezzo di ci\u00f2 che (logicamente) vien dopo. Ma lo stesso Aristotele ci fa sapere che Platone \u00abcombatteva questo genere di esseri\u00bb (cio\u00e8 i punti),considerandoli come una finzione, un’ipotesi, un’opinione geometrica. Platone, cio\u00e8, preferiva appoggiarsi a un ente meno evanescente, cio\u00e8 alla linea, e perci\u00f2 preferiva chiamare il punto \u00abprincipio (arch\u00e9) della linea\u00bb.<\/em><\/p>\n "la terza definizione euclidea appare pertanto come<\/em> platonica, e l’averla data rivela il tentativo, da parte di Euclide, di conciliare le vedute di Platone e quelle di Aristotele sull’argomento<\/em><\/p>\n "Euclide, cio\u00e8, riconobbe tutta la forza dell’argomento platonico sulla necessit\u00e0 di collegare il concetto di unto a quello di linea: d’altra parte sent\u00ec il peso della critica di Aristotele. Egli pertanto non si arrischia a conciliare il termine 3\u00b0, almeno formalmente, come definizione vera e propria di punto: l’introduce, invece, quando punto e linea sono stati gi\u00e0<\/em> definiti in modo autonomo. Secondo Heath, in questo<\/em> compromesso deve vedersi appunto un’idea personale di Euclide: opinione che ci sentiamo senz’altro di accettare, dopo quanto abbiamo esposto.<\/em><\/p>\n "Giova notare, inoltre, che la presa di posizione da parte di Platone contro il punto autonomamente considerato, ci \u00e8 nota attraverso il passo citato della<\/em> Metafisica di Aristotele. Nessun cenno, infatti, si trova direttamente sul punto nelle opere scritte di Platone, e il carlini, nel suo commento alla<\/em> Metafisica, scrive: \u00abnota gli’imperfetti (Platone<\/em> combatteva, preferiva…) che paiono riferirsi a un insegnamento orale…Della questione qui accennata non \u00e8 traccia negli scritti di Platone\u00bb.<\/em><\/p>\n "Forse una traccia, sia pure indiretta, pu\u00f2 invero trovarsi nel dialogo<\/em> Menone (76 a) nel quale viene definita la figura (bidimensionale) come limite (<\/em>p\u00e8ras) del solido. Questa definizione, per la superficie, \u00e8 trasportata di peso (con le stesse prole) da Euclide negli<\/em> Elementi (libro XI, def. 2).<\/em><\/p>\n "Tra la definizione di punto come estremo della linea (che a Platone, sia pure indirettamente, pu\u00f2 riferirsi), e quella, or ora ceduta, della superficie come estremo del solido (che \u00e8 senz’altro platonica) appartiene allo stesso ordine di idee la definizione intermedia della<\/em> linea come estremo della superficie, che si trova negli<\/em> Elementi euclidei come<\/em> Termine 6, e che quindi senz’altro trae la sua origine da Platone.<\/em><\/p>\n "Appare dunque evidente l’influenza platonica sulla formazione delle definizioni degli enti geometrici fondamentali, quali figurano negli<\/em> Elementi euclidei."<\/em> (9)<\/p>\n NOTE<\/strong><\/p>\n 1) Alfonso Valentini – Gianni Bergna, Geometria per la scuola media<\/em>, Brescia, Editrice La Scuola, 1967, p. 9.<\/p>\n 2) L. Beani – C. Meli Mostardini, Geometria per la scuola media<\/em>, Messina-Firenze, Casa Editrice G. D’Anna, 1969, p. 13.<\/p>\n 3) L. Cateni – R. Fortini, Il pensiero geometrico. Manuale di geometria per il liceo scientifico<\/em>, Firenze, Felice Le Monnier, 1975, p. 3.<\/p>\n 4) Rinaldo Cigna – Marina Devalle, Matematica<\/em> (2 voll.), Milano, Casa Editrrice Tramontana, 1967, vol. 1, p. 192.<\/p>\n 5) Carl L. Boyer, Storia della matematica<\/em> (titolo originale: A History of Mathematics<\/em>, 1968); traduzione dall’inglese di Adriano Carugo, Milano, Istituto Editoriale Internazionale, 1976, p. 124.<\/p>\n 6) Platone, Parmenide<\/em>, 139 b-c (traduzione di Enrico Pegone), in Platone, tutte le opere<\/em>, Roma, Newton & Compton Editori, 1997 (5 voll.), vol. 2, p.171.<\/p>\n 7) Platone, Sofista<\/em> (traduzione di Gino Giardini), in Platone, tutte le opere<\/em>, cit., vol. 1, p. 575.<\/p>\n 8) Aristotele, Metafisica<\/em>, Libro V, 1.016 b; edizione a cura di Giovanni Reale, Milano, Rusconi, 1994, pp. 209-211.<\/p>\n 9) Attilio Frajese, Attraverso la storia della matematica<\/em>, Firenze, Le Monnier Editore, 1973, vol. 3, pp. 91-95.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Che cos’\u00e8, esattamente, il punto, questo ente matematico che sta alla base di tutta la geometria ma il cui concetto, solitamente, adoperiamo senza troppo darci la [\u2026]<\/span><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":30162,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[38],"tags":[92],"class_list":["post-25046","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-gnoseologia","tag-altro"],"jetpack_featured_media_url":"https:../../../../fides-et-ratio.it/wp-content/uploads/2023/10/categoria-gnoseologia.jpg","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25046","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https_3A//fides-et-ratio.it/wp-json/wp/v2/comments@post=25046"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/25046\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fides-et-ratio.it\/wp-json\/wp\/v2\/media\/30162"}],"wp:attachment":[{"href":"https_3A//fides-et-ratio.it/wp-json/wp/v2/media@parent=25046"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https_3A//fides-et-ratio.it/wp-json/wp/v2/categories@post=25046"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https_3A//fides-et-ratio.it/wp-json/wp/v2/tags@post=25046"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}