Che cos’\u00e8 la geometria?<\/p>\n
Tutti crediamo di saperlo; qualunque studente, interrogato in proposito, si affretta a sciorinare la definizione appresa sul libro, che suona press’a poco cos\u00ec: "la geometria \u00e8 quella scienza che studia le figure disposte sul piano e nello spazio, e le loro reciproche relazioni".<\/p>\n
In verit\u00e0, questo \u00e8 un buon esempio del nostro credere di sapere — tipico soprattutto della nostra cultura, cio\u00e8 della cultura occidentale moderna -, che si riduce a un falso sapere, allorch\u00e9 si trova a dover riflettere sui propri fondamenti e scopre di non averli, o di non averli chiariti a sufficienza; un sapere che, tutto preso dalla smania del fare, dell’agire, del manipolare, non si preoccupa pi\u00f9 di tanto di fondare coerentemente, lucidamente e rigorosamente le proprie basi teoretiche, convinto, nella sua immensa presunzione, che quello che conta, in ultima analisi, \u00e8 il risultato, ovvero, per usare un’espressione pi\u00f9 consona all’odierna temperie culturale, il "successo", ossia la capacit\u00e0 di modificare effettivamente la realt\u00e0 esterna, secondo la propria volont\u00e0.<\/p>\n
\u00c8 lo stesso deficit di chiarificazione profonda che si nota in tutte le altre scienze e in tutti gli altri ambiti del pensiero: dalla filosofia alla teologia, dalla storia alle scienze naturali, dalla fisica alla chimica, dalla psicologia all’antropologia, dall’economia al diritto. E con quali nefaste conseguenze, \u00e8 cosa che sta ormai sotto gli occhi di tutti — o, almeno, di tutti coloro i quali sono disposti, in buona fede e con retta coscienza, a vederli e a riconoscerli, senza prestarsi al gioco dello struzzo.<\/p>\n
Lasciamo perdere, dunque, le formulette imparate a memoria quando eravamo sui banchi di scuola – forse davanti a dei professori che si accontentavano di sentirsele ripetere docilmente, ma non di sviluppare in noi un autentico senso critico delle cose – e proviamo a domandarci, di nuovo, ma con mente sgombra da ogni residuo di falso sapere: che cos’\u00e8 la geometria?<\/p>\n
Innanzitutto, perch\u00e9 ci sia una geometria, \u00e8 necessario che ci sia uno spazio nel quale porre (cio\u00e8 immaginare di porre; porre idealmente ) le figure; e, naturalmente, una mente capace di riflettere su di essi. Lo spazio, lo immaginiamo gi\u00e0 "dato", e anche le figure (come e perch\u00e9, non \u00e8 cosa che riguardi direttamente la geometria: riguarda la filosofia – non \u00e8 male, tuttavia, che anche lo studente di geometria provi a porsi l’interrogativo, tanto per abituarsi a non lavorare del tutto alla cieca, come un "tecnico" col suo bravo paraocchi). Tuttavia, se anche lo spazio e le figure sono gi\u00e0 "dati", resta da capire e da definire quale sia l’oggetto dello studio di codeste figure nello spazio (qualunque cosa tale spazio sia), perch\u00e9 non tutto, di loro, ci interessa. Non ci interessa il colore, ad esempio, n\u00e9 il numero: non ci interessa che un triangolo sia rosso, o verde, o giallo; n\u00e9 ci interessa che vi siano dieci, cento o mille triangoli che presentano determinate caratteristiche, per esempio di essere dei triangoli equilateri, o isosceli, o scaleni. Infatti, quando avremo dimostrato certe propriet\u00e0 di un triangolo equilatero, daremo per scontato che esse valgano per qualunque triangolo equilatero, indipendentemente dalle sue dimensioni o da qualunque altra caratteristica che non interessi la geometria.<\/p>\n
E allora, quali sono le propriet\u00e0 delle figure che ci interessano, in quanto oggetto di quella scienza chiamata "geometria"? Sono quelle riguardanti le trasformazioni delle figure stesse, che non modificano le loro propriet\u00e0: tale \u00e8, in sintesi, la definizione proposta da un grande matematico tedesco del XIX secolo, Felix Klein.<\/p>../../../../n_3Cp>Un buon esempio di questo concetto \u00e8 offerto dal cosiddetto principio di Cavalieri (un matematico italiano vissuto nel XVII secolo): DUE SOLIDI CHE SI POSSONO COLLOCARE IN MODO CHE SIANO EQUIVALENTI LE LORO SEZIONI CON UN QUALSIASI PIANO PARALLELO A UN PIANO FISSO, SONO EQUIVALENTI.<\/p>\n
In pratica, si tratta di questo: se consideriamo un parallelepipedo rettangolo costruito mediante un certo numero di fogli di carta, rettangolari, tutti uguali fra loro ed esattamente sovrapposti, potremo far scorrere i fogli l’uno sull’altro, fino a trasformarlo in un parallelepipedo che non sar\u00e0 pi\u00f9 retto, ma un solido con le facce incurvate, sempre restando invariate sia la base che l’altezza. I solidi formati in questo modo saranno sempre equivalenti: ci\u00f2 risulta intuitivo, dal momento che sono costituiti dallo stesso numero di fogli. Tutto ci\u00f2 dimostra che una figura geometrica pu\u00f2 essere deformata in maniera tale da assumere una conformazione alquanto diversa da quella iniziale, e tuttavia rimanere equivalente a se stessa, conservando la stessa base e la medesima altezza. Questo \u00e8 quanto intendevamo, dicendo che alla geometria interessano solo certe propriet\u00e0 delle figure, e pi\u00f9 precisamente quelle che non vengono modificate dalle trasformazioni che dette figure possono subire.<\/p>\n
Scriveva Luciano Scaglianti nel suo libro di testo \u00abGeometria per gli Istituti Magistrali\u00bb (Padova, Cedam, 1981, pp. 225-227):<\/p>\n
\u00abAll’inizio dello studio della geometria l’abbiamo definita come "LA SCIENZA CHE SI PROPONE LO STUDIO DI UN CERTO INSIEME, DETTO SPAZIO, COSTITUITO DA INFINITI ELEMENTI, DETTI PUNTI". La geometria, cio\u00e8, si occupa, come sovente si dice, delle "propriet\u00e0" delle figure nel piano e nello spazio. \u00c8 per\u00f2 da notare che la definizione sopra data \u00e8 molto generica, e in geometria non si studiano affatto TUTTE le propriet\u00e0 delle figure. In geometria \u00e8 del tutto indifferente, per esempio, disegnare un triangolo su una carta bianca o sulla lavagna nera; il colore del triangolo non \u00e8 oggetto di studio da parte della geometria. Cos\u00ec pure nello studio delle figure geometriche si prescinde, in modo del tutto naturale, da certe realizzazioni concrete le quali particola rizzano la figura stessa. Per esempio, quando si studia la "circonferenza" si ritiene del tutto ovvio che le propriet\u00e0 che interessano la geometria sono quelle che si riferiscono non ad una particolare circonferenza, ma quelle comuni a tutte le circonferenze isometriche alla data, cio\u00e8 a tutte le circonferenze che differiscono tra loro solo per la posizione occupata nel piano. In atre parole, le propriet\u00e0 che interessano sono quelle che rimangono invariate anche se la figura viene sottoposta ad un movimento rigido, cio\u00e8 un’isometria. Addirittura, a volte, interessano propriet\u00e0 comuni a circonferenze\u00bb "simili", cio\u00e8 quelle propriet\u00e0 che permangono anche se la figura viene sottoposta ad una similitudine, cio\u00e8 trasformata in un’altra simile. […] In altre parole, in geometria \u00e8 indifferente considerare la circonferenza in una posizione, oppure in un’altra, e per certe propriet\u00e0, con un dato raggio oppure con un altro. Concludendo possiamo dire che quando una figura viene sottoposta ad una "trasformazione", alcune propriet\u00e0 della figura "si conservano", cio\u00e8 "rimangono invariate": sono proprio queste propriet\u00e0 che si chiamano PROPRIET\u00c0 GEOMETRICHE.<\/p>\n
L’analisi metodologica della struttura della geometria, che ha portato a questi punti di vista, \u00e8 stata compiuta dal matematico tedesco F. Klein verso la fine del secolo scorso. Per capire quale sia l’importanza e la profondit\u00e0 dell’analisi di Klein occorre ricordare che ai suoi tempi la geometria aveva assunto un nuovo assetto, dovuto all’esistenza di varie "geometrie"; in particolare la geometria "proiettiva" si era presentata alla ribalta della scienza come una dottrina pi\u00f9 generale della geometria "euclidea", intesa in senso classico, ed erano anche apparse diverse ricerche le quali sviluppavano "geometrie" che apparivano come abbastanza "strane" e che si presentavano anche in certo modo come episodiche e staccate tra loro. Il merito di Klein fu di presentare un’idea unificatrice, la quale permetteva di dare una classificazione, e quindi una visione unitaria di tutti questi capitoli della geometria, che si erano originariamente presentati come abbastanza diversi e indipendenti tra loro. Lo strumento di cui si serve Klein per tale unificazione \u00e8 un concetto che appartiene all’algebra: il concetto di "gruppo" che Klein presenta sotto la sua realizzazione concreta di "gruppi di trasformazioni". Egli, infatti, in un celebre discorso inaugurale tenuto nel 1872, quando divent\u00f2 professore all’Universit\u00e0 di Erlangen, mostr\u00f2 come il concetto algebrico di "gruppo" potesse essere impiegato quale mezzo conveniente per caratterizzare le varie "geometrie" che erano apparse nel corso dei secoli. Nel suo discorso, che diventer\u00e0 famoso come "Programma di Erlangen", Klein descrive la geometria come lo studio delle propriet\u00e0 delle figure aventi carattere invariante rispetto a un particolare gruppo di trasformazioni. Qualsiasi classificazione dei gruppi di trasformazione diventava pertanto una codificazione delle varie geometrie. La geometria euclidea, per esempio, \u00e8 lo studio delle propriet\u00e0 delle figure che rimangono invariate rispetto al gruppo delle trasformazioni formato dalle "similitudini", che contiene come sottogruppo il gruppo delle "isometrie". La geometria "affine" \u00e8 lo studio delle propriet\u00e0 delle figure che rimangono invarianti rispetto al gruppo delle "affinit\u00e0"; la geometria "proiettiva" \u00e8 lo studio delle propriet\u00e0 invarianti rispetto al gruppo delle "proiettivit\u00e0", ecc.<\/p>\n
Concludendo possiamo dire che per fondare una "geometria" occorrono:<\/p>\n
a) uno SPAZIO, la cui struttura viene descritta da opportuni assiomi.<\/p>\n
b) Un GRUPPO DI TRASFORMAZIONI, ossia un gruppo di particolari corrispondenze biunivoche tra i punti dello spazio, anch’esse definite da opportuni assiomi.<\/p>\n
Dopo di che si d\u00e0 la seguente definizione: LA GEOMETRIA \u00c8 LA SCIENZA CHE STUDIA QUELLE PROPRIET\u00c0 DELLE FIGURE CHE NON VENGONO MODIFICATE DA PARTICOLARI TRASFORMAZIONI DELLE FIUGURE STESSE.<\/p>\n
\u00c8 da notare, infine, che le propriet\u00e0 delle figure che si conservano dipendono dal tipo di trasformazione che si considera. Per esempio, le isometrie conservano le "distanze", mentre le similitudini non conservano le distanze, ma il "rapporto" tra segmenti corrispondenti. Dunque a seconda del tipo di trasformazione che si considera si ha un "tipo" di geometria. E per fare della geometria occorre SEMPRE avere uno spazio e un gruppo di trasformazioni.\u00bb<\/p>\n
I diversi tipi di geometria che si possono immaginare sono la conseguenza del tipo di trasformazioni a cui si sottopongono le figure nello spazio. Non esiste geometria se non si dispone di uno spazio in cui porre le figure e se non si esercitano delle trasformazioni, o meglio, come chiarisce Klein, dei "gruppi" di trasformazioni. Una geometria puramente statica sarebbe un non senso, perch\u00e9 si ridurrebbe alla descrizione di figure "morte"; mentre le figure geometriche sono tali in quanto sono "vive", cio\u00e8 in quanto suscettibili di trasformazioni, e pi\u00f9 precisamente di trasformazioni che non ne modifichino le propriet\u00e0.<\/p>\n
Ma non solo le figure della geometria sono "vive": anche lo spazio in cui si collocano \u00e8 "vivo", tanto \u00e8 vero che pu\u00f2 dilatarsi indefinitamente ad accogliere qualunque tipo e quantit\u00e0 di figure; la definizione geometrica di spazio, infatti, \u00e8 che si tratta di un insieme costituito da infiniti elementi, detti punti. Ma anche i suoi sottoinsiemi, le rette e i piani, godono della medesima propriet\u00e0: per cui ne deriva, paradossalmente, che la parte non \u00e8 minore del tutto, perch\u00e9 anche la parte dello spazio formata dalla retta e dal piano risulta costituita da infiniti punti.<\/p>\n
Ed eccoci tornati al punto iniziale: alla necessit\u00e0, cio\u00e8, di collocare anche la geometria entro un certo quale orizzonte filosofico, del quale non solo lo specialista, ma anche il semplice studente, dovrebbero possedere un minimo di consapevolezza. Non si pu\u00f2 parlare di "spazio", di "figure", di "piani", di "rette" e di "infiniti punti", senza avere elaborato, almeno in forma embrionale, una consapevolezza di quali implicazioni filosofiche abbiano simili concetti. Come si pu\u00f2 parlare anche solo di un semplice "punto", se non si possiede una sia pur minima nozione di "infinito"? Ne abbiamo gi\u00e0 trattato in un altro lavoro, per cui non ci torneremo sopra ulteriormente (cfr. l’articolo \u00abIl punto per Euclide \u00e8 qualcosa di esteso o di inesteso?\u00bb, apparso sul sito di Arianna Editrice in data 31\/12\/2007). Ma il problema \u00e8 reale.<\/p>../../../../n_3Cp>Quel che sarebbe auspicabile non \u00e8 che le singole scienze si "sciolgano" tutte nella filosofia (e quest’ultima, magari, nella teologia), ma che tornino a riconoscere la loro relazione armonica e necessaria con l’essere; che non ci si dimentichi mai che le singole scienze si possono considerare tali, al plurale, soprattutto per ragioni di ordine pratico e didattico; ma guai a scordarsi che la scienza \u00e8 una, ed \u00e8 scienza del vero; a differenza dell’opinione, che \u00e8 approssimazione al probabile — o magari all’improbabile, secondo i gusti.<\/p>\n
Del resto, Platone aveva gi\u00e0 ammonito che non dovrebbe occuparsi di filosofia chi non conosce la geometria; ma l’affermazione potrebbe essere rovesciata: perch\u00e9 \u00e8 tanto necessario saper vedere la relazione fra il particolare e l’universale, quanto fra questo e quello. Ma lo scopo \u00e8 sempre la Verit\u00e0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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