La difficolt\u00e0 in cui si sono imbattuti i matematici che si sono cimentati per primi nella risoluzione delle equazioni polinomiali di grado superiore al secondo \u00e8 stata quella di trovare una formula risolutiva; formula che invece esiste, appunto, per quelle di secondo grado.<\/p>\n
Per le equazioni di terzo e quarto grado, effettivamente, una formula risolutiva esiste, ma \u00e8 di difficile applicazione pratica; ma per le equazioni di grado superiore al quarto le cose si fanno ancora pi\u00f9 complicate, perch\u00e9 \u00e8 stato dimostrato, dopo molte ricerche, che una formula risolutiva non esiste.<\/p>\n
Come \u00e8 stato osservato (cfr., per esempio, il volume di Dario Palladino e Stefano Scotto, \u00abOrizzonti della matematica on line. Algebra 2\u00bb, Milano, Casa Editrice G. Principato, 2011, p. 217), questo risultato \u00e8 dovuto in parte al matematico italiano Paolo Ruffini (1765-1822) e poi, soprattutto, con maggior rigore e generalit\u00e0, al giovane e sfortunatissimo matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), il quale, inizialmente, si illudeva, al contrario, di aver trovato appunto la formula per risolvere le equazioni di quinto grado e di legare per sempre, grazie a tale scoperta, il suo nome alla storia della matematica.<\/p>\n
Sconcertante appare il teorema di Abel-Ruffini perch\u00e9, mentre per vedere se una formula esiste, \u00e8 sufficiente, di solito, esibirla e controllare che funzioni, Ruffini e Abel hanno dimostrato che, per le equazioni almeno di quinto grado, tale formula non c’\u00e8, ossia che nessun procedimento, per quanto ingegnoso, potr\u00e0 mai consentire di determinarla. Si tratta, pertanto, di un teorema paradossale, che non illustra una formula, ma l’impossibilit\u00e0 di una formula.<\/p>\n
A dire il vero, e questo si tende inconsciamente a dimenticarlo, i risultati di impossibilit\u00e0, in matematica, sono tutt’altro che rari; n\u00e9 si tratta di qualche cosa di particolarmente misterioso, perch\u00e9 il lavoro del matematico \u00e8 quello di precisare gli strumenti a disposizione e non di indagare direttamente sull’essenza del mondo dei numeri — essenza su cui, come \u00e8 noto, esistono pareri assai discordanti, raggruppabili nelle due principali scuole di pensiero dei "realisti", i quali, come Platone, credono che gli enti della matematica corrispondano a oggetti realmente esistenti, e degli "idealisti", i quali, al contrario, credono che essi esistano solo nella dimensione dell’astrazione logica.<\/p>\n
Abbiamo gi\u00e0 avuto occasione di trattare tali questioni, perci\u00f2 non ci soffermeremo ulteriormente su questo punto, rimandando il lettore ad alcuni articoli precedenti (in particolare: \u00abIl mondo matematico di Platone \u00e8 "reale"? Riflessioni sulla prospettiva di Roger Penrose\u00bb, consultabile sul sito di Edicolaweb; ed \u00abEsiste nel mondo qualcosa di infinito? Tra filosofia e paradossi matematici\u00bb, sul sito di Nwo). In questa sede ci basta evidenziare, con Palladino e Scotto, che non deve stupire l’impossibilit\u00e0 verificata da Ruffini e Abel per la risoluzione delle equazioni di quinto grado, giacch\u00e9 la matematica non pu\u00f2 che prendere atto di come, a partire da certi strumenti, non si possano ottenere certi risultati.<\/p>../../../../n_3Cp>Infatti, indipendentemente dalle opinioni filosofiche che si possiedono intorno alla natura effettiva degli enti matematici, a cominciare dai numeri — discorso nel quale si deve sempre ricordare come il concetto di "reale" non ha niente a che fare con quello di "esistente": perch\u00e9 i numeri, certamente, esistono, salvo poi vedere se corrispondano a degli enti reali; cos\u00ec come anche i sogni certamente esistono, ma \u00e8 tutto da dimostrare se essi siano qualche cosa di "reale" in senso oggettivo -, resta il fatto che la matematica \u00e8 lo sforzo di costruire strumenti d’indagine concettuale e non il mondo degli enti matematici in se stesso, del quale, se pure esiste, gli strumenti elaborati dalla matematica non possono che dare una descrizione, per cos\u00ec dire, "esterna".<\/p>\n
Essi, infatti, per adoperare un linguaggio kantiano, non sono il noumeno, non sono la cosa in s\u00e9 della matematica, ma solo il fenomeno, ossia la cosa come appare a noi; e nemmeno il pi\u00f9 geniale matematico potrebbe modificare questo stato di cose: il fatto, cio\u00e8, che il suo lavoro consiste nell’elaborare strumenti di indagine sul mondo della quantit\u00e0 e dei numeri, e non gi\u00e0 nel definire l’essenza di quel mondo.<\/p>\n
Possibile e impossibile, pertanto, in matematica, non corrispondono a una realt\u00e0 oggettiva ed esistente, da qualche parte, nel mondo della quantit\u00e0, ma solo a una realt\u00e0 soggettiva, relativa agli strumenti che la matematica \u00e8 capace di approntare per esplorare quel mondo. Si tratta pur sempre di strumenti umani, cio\u00e8 scaturenti da una logica umana: la matematica, come appunto la logica, pu\u00f2 dirci soltanto se una formula \u00e8 possibile o impossibile dal punto di vista del rigore concettuale, non se sia possibile in una supposta dimensione assoluta, esistente per se stessa.<\/p>\n
Ora, cos\u00ec come la logica pu\u00f2 solo dirci se una proposizione \u00e8 possibile o impossibile, cio\u00e8 se possiede un senso concettuale compiuto e non contraddittorio – quando Bertrand Russell diceva ai suoi alunni: \u00abIn questa stanza non ci sono ippopotami\u00bb, Ludwig Wittgenstein, maliziosamente, si chinava sotto il banco per controllare se cos\u00ec fosse -, allo stesso modo la matematica pu\u00f2 solo dirci se una formula \u00e8 possibile o impossibile.<\/p>\n
Non bisogna scambiare un enunciato della logica o una formula matematica per i contenuti effettivi cui essi si riferiscono. Per quel che ne sappiamo, nel mondo della pura logica degli ippopotami potrebbero effettivamente nascondersi sotto il banco di uno studente, perch\u00e9 un tale enunciato non \u00e8 LOGICAMENTE assurdo; lo \u00e8 solo dal punto di vista dei contenuti, poich\u00e9 noi sappiamo, per esperienza (altro concetto che, dal punto di vista della logica formale, ha pochissimo valore dimostrativo), che un ippopotamo non riuscirebbe ad allogarsi in uno spazio tanto modesto. Allo stesso modo, noi possiamo solo affermare, grazie al teorema di Abel-Ruffini, che non esiste il modo di determinare una formula per le equazioni di quinto grado ed oltre, qualunque procedimento si metta in campo. A rigore, perci\u00f2, non abbiamo detto nulla circa una impossibilit\u00e0 oggettiva e radicale, nella dimensione "pura" degli enti matematici. Forse, ammesso che una tale dimensione esista, esiste anche la formula per le equazioni di quinto grado, cos\u00ec come per quelle di grado superiore al quinto; soltanto che la matematica, in quanto costruzione umana, non \u00e8 in grado di determinarla: non almeno una formula che sia esprimibile tramite radicali.<\/p>\n
Ma chi era questo giovane matematico norvegese che, dopo lungo studio, pervenne ad un risultato cos\u00ec strano e apparentemente paradossale?<\/p>\n
Egmont Colerus, il notevole scrittore, umanista e matematico austriaco (1888-1939), autore di una conosciutissima \u00abPiccola storia della matematica. Da Pitagora a Hilbert\u00bb (traduzione dal tedesco Spartaco Casavecchia Milano, Arnoldo Mondadori Editore, 1960, pp. 259-62), cos\u00ec ne delinea la solitaria, malinconica figura e riassume le vice de che lo portarono alla formulazione della sua teoria (detta oggi, come si \u00e8 visto, di Abel-Ruffini):<\/p>\n
\u00abAbel, figlio di un pastore protestante, nacque a Finh\u00f6 in Norvegia, e fu segnato in triplice modo dal destino in un’et\u00e0 in cui gli altri ragazzi, con le guance rosse e con i loro sogni di felicit\u00e0 futura, si trastullano in mezzo alla neve. Povert\u00e0, consunzione e malinconia lo accompagnarono come tetri tutori in una vita che indipendentemente dalla sua innata capacit\u00e0, non doveva essere una vera vita. Malgrado tutto, ardeva nel debole petto di questo nordico un indomabile spirito faustiano, che si rivolse in modo particolare alle matematiche, e lo rese capace fin da giovinetto di penetrare addentro nella nostra scienza, bench\u00e9 puro autodidatta. Gi\u00e0 nel 1822 lo troviamo all’universit\u00e0 di Cristiania, e nel 1823 una scoperta di interesse mondiale sembra portare per la prima volta un po’ di luce in quest’anima tetra. Egli crede infatti di aver trovato per primo nella storia della matematica il metodo generale per la risoluzione dell’equazione di quinto grado. La tragedia degli anni seguenti \u00e8 a mala pena concepibile. Possiamo solo intuire come nelle notti di febbre egli abbia visto la sua "scoperta" cadere poco alla volta in pezzi, e perci\u00f2 sparire per sempre e perdersi in fumo la felicit\u00e0 per un istante sognata. Disperato, nel 1824 egli porta il colpo decisivo contro se stesso, dimostrando, anche questa volta per primo, che l’equazione di quinto grado non \u00e8 risolubile con estrazioni di radice. Il suo destino prende un’altra piega. Si riconosce subito "in alto luogo" l’enorme importanza di questo risultato apparentemente negativo, che pone una volta per tutte un limite ben definito alle indagini ed evita tentativi superflui, e gli viene destinata una sovvenzione degna di questo nome. Nuove speranze di Abel, il quale va a Berlino a trovare l’architetto Crelle, fondatore dal 1826 del famoso "Chrellesches Journal", pubblicazione matematica di prim’ordine,e personaggio assai meritevole per tutta la sua attivit\u00e0 di organizzatore nel campo della matematica. In questa rivista Abel pubblica le sue fondamentali scoperte sulle equazioni di quinto grado e sulla convergenza della serie binomia, quest’ultimo studio eseguito sotto l’influenza di Cauchy. Nel 1826 Abel si reca a Parigi per visitare il gi\u00e0 celeberrimo Cauchy, che egli onorava di lontano come maestro. Ma Cauchy, che aveva un carattere spesso poco in armonia con le opere e andava soggetto a frequenti attacchi d’invidia, e di cattiveria, non volle riceverlo. Anche questa tragedia si pu\u00f2 difficilmente concepire. Con gli ultimi centesimi della sua sovvenzione, col provento penosamente raggranellato di qualche lezione, Abel era arrivato fino a Parigi per trovare tutte le porte chiuse proprio l\u00e0 dove, oltre ogni interesse, lo spingeva anche una grande sete spirituale. Ma neanche ora l’infelice giovane, il cui male peggiora di continuo, si lascia piegare. Al contrario, il suo genio si eleva ancora una volta in un’impresa gigantesca, scoprendo e pubblicando il teorema che ha preso il suo nome, e rappresenta una generalizzazione del teorema di Eulero sulla somma degli integrali ellittici.[…] Abel riusc\u00ec a far luce su questi integrali e a eseguire la divisione della "lemniscata" (una curva di ordine superiore), divisione che \u00e8 in stretto rapporto con gl’integrali ellittici. Durante quest’epoca ottenne anche notevoli risultati nel campo dei numeri complessi. Nel viaggio di ritorno da Parigi Abel aveva l’intenzione di conferire cin Gauss, la cui fama era allora gi\u00e0 allo zenit, ma la sua esperienza con Cauchy lo aveva talmente scoraggiato, che all’improvviso lo assalirono scrupoli cos\u00ec forti da arrivare fino alla paura. Mortalmente ammalato, corse a Cristiania, dove si aggrav\u00f2 per breve tempo soffrendo il freddo e la fame per trovare un impiego, sia pur modesto. Ma anche quest’umile aspirazione gli fu negata. Mor\u00ec nel 1829. Pochi giorni dopo la sua morte, arriv\u00f2 a Cristiania una lettera di chiamata a Berlino, di grande valore materiale e morale, e nel 1830 l’Accademia francese delle scienze assegn\u00f2 un premio alla sua memoria.<\/p>\n
Ci risparmiamo ogni commento a questo inferno, in cui venne a trovarsi un genio che con n po’ di buona volont\u00e0 avrebbe dovuto essere riconosciuto come tale. Ogni lettore della rivista di Crelle, e cio\u00e8 tutto il mondo scientifico, doveva saperlo; anche Gauss, questo misteriosissimo tra tutti gli uomini eminenti, del quale solo dopo la sua morte fu appurato che conosceva per conto proprio gi\u00e0 nel primo decennio del secolo decimo nono, cio\u00e8 con venti anni di anticipo, quasi tutti i risultati ottenuti da Abel, e li aveva taciuti. Meglio di tutti lo sapeva per\u00f2 Jacobi, il quale fu probabilmente causa inconsapevole della prematura morte di bel, poich\u00e9 questi si consum\u00f2 in una lotta accanita nella costruzione della teoria degli integrali ellittici studiati anche da Jacobi. Non vogliamo per\u00f2 spargere lacrime farisaiche, poich\u00e9 ognuno di noi ha avuto occasione di aiutare indegni e di piantare in asso persone meritevoli; ed \u00e8 quasi un destino, per molti uomini, quello di essere giustamente valutati, senza che ci si risolva a far nulla per loro.\u00bb<\/p>\n
Occorre ricordare, a quest’ultimo proposito, che un poeta della grandezza di Leopardi si vide prospettare, senza che poi se ne facesse nulla, come tutta sistemazione accademica, una cattedra di mineralogia a Parma e una cattedra di scienze naturali a Bologna?<\/p>\n
Tuttavia, la storia di Abel \u00e8 interessante, perch\u00e9 mostra come anche la matematica possa essere vissuta con l’intensit\u00e0 di una passione totale e come uno studioso dalla perfetta coerenza e integrit\u00e0 morale non arretri nemmeno davanti alla prospettiva di diventare il peggior nemico delle proprie ricerche e delle proprie speranze, arrivando a dimostrare proprio l’impossibilit\u00e0 di quella formula algebrica dalla quale si era ripromesso la gloria e un minimo di sicurezza economica.<\/p>\n
Ma, come giustamente osserva Colerus, \u00e8 meglio non dire altro, per non scivolare nel fariseismo o nel pietismo a buon mercato…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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